기본 연습
좌극한
구간별로 정의된 함수
출제의도
이 문항은 구간별로 정의된 함수에서 함숫값과 좌극한이 각각 어느 식에서 결정되는지를 정확히 구분할 수 있는지를 확인합니다. k가 경계 a보다 작은지, 같은지, 큰지에 따라 f(k)와 좌극한의 식이 달라지므로 세 경우로 나누어 방정식을 세워야 합니다.
특히 k=a일 때 함숫값은 4이지만 좌극한은 x<a 구간의 식에서 나온다는 점이 함정입니다. 또한 “조건을 만족하는 k가 정확히 두 개”라는 개수 조건을 거꾸로 이용해 상수 a를 결정하는 역방향 사고가 필요합니다.
단계별 힌트
limx→k− f(x)는 x가 k보다 작은 쪽에서 k로 다가갈 때의 값입니다. 함수가 x=a를 경계로 식이 바뀌므로 k<a, k=a, k>a 세 경우로 나누어 f(k)와 좌극한을 각각 구하세요.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
k<a이거나 k>a이면 k 근처에서 함수의 식이 하나로 고정되므로 f(k)와 좌극한이 같은 값입니다. 따라서 주어진 식은 2f(k)=2a+2 꼴이 됩니다.
k=a일 때만 다릅니다. f(a)=4이고, 좌극한은 x<a 구간의 식 x에서 나오므로 a입니다. 각 경우의 방정식을 푼 뒤, 구한 k가 그 경우의 가정(k<a 또는 k>a)을 실제로 만족하는지 반드시 확인하세요.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
k<a인 경우에서는 해가 나오지 않고, k>a인 경우에서는 해가 항상 하나 나옵니다. 그렇다면 두 번째 k는 k=a인 경우에서 나와야 합니다. 이 조건으로 a를 구한 뒤 두 k의 값을 더하세요.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ④ 6
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP Ak<a일 때 확인하기
f(k)=k, limx→k− f(x)=k이므로 k+k=2a+2, k=a+1입니다. 그런데 a+1>a이므로 가정 k<a에 맞지 않습니다. 이 경우에는 조건을 만족하는 k가 없습니다.
STEP Bk>a일 때 확인하기
f(k)=k−1, limx→k− f(x)=k−1이므로 (k−1)+(k−1)=2a+2, k=a+2입니다. a+2>a이므로 a의 값에 관계없이 항상 조건을 만족합니다.
STEP Ck=a일 때로 a 결정하기
k가 두 개이려면 k=a도 조건을 만족해야 합니다. f(a)=4, limx→a− f(x)=a이므로 4+a=2a+2, a=2입니다. 따라서 k의 값은 2와 4이고, k1+k2=2+4=6입니다.
1등급 다른 풀이 · 좌변을 k에 대한 함수로 보고 그래프로 세기
좌변을 g(k)=f(k)+limx→k− f(x)로 놓으면 g(k)는 k<a에서 2k, k=a에서 4+a, k>a에서 2k−2입니다. 이제 문제는 “직선 y=2a+2와 y=g(k)의 그래프가 정확히 두 점에서 만날 조건”으로 바뀝니다.
k<a에서 2k는 2a보다 작은 값만 가지므로 2a+2에 도달하지 못합니다. k>a에서 2k−2는 2a−2보다 큰 모든 값을 가지므로 2a+2와 한 번 만납니다. 따라서 나머지 한 점은 고립된 점 (a, 4+a)가 직선 위에 있어야 하고, 4+a=2a+2에서 a=2가 됩니다. 경우를 나누어 풀 때 “가정 확인”을 빠뜨리기 쉬운데, 그래프로 보면 각 구간의 치역만 비교하면 되므로 판단이 훨씬 빨라집니다.
실수를 줄이는 전략
- k=a일 때 좌극한을 x−1 식에 넣어 a−1로 계산하는 실수가 가장 흔합니다. 좌극한은 a보다 작은 쪽, 즉 x<a 구간의 식 x에서 구해야 하므로 a입니다.
- k=a일 때 f(a)를 a로 쓰지 마세요. x=a에서의 함숫값은 따로 정의된 4입니다.
- k<a인 경우에서 얻은 k=a+1을 가정과 비교하지 않고 답에 넣으면 k가 세 개가 되어 조건이 맞지 않습니다. 경우를 나누었으면 구한 값이 그 경우의 범위 안에 있는지 꼭 확인하세요.
- 문제에서 묻는 것은 a가 아니라 k1+k2입니다. a=2를 구한 뒤 k=a+2=4까지 계산해 두 값을 더해야 합니다.
엄선된 풀이 영상
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