기본 연습
∞−∞ 꼴의 극한
분자의 유리화
출제의도
이 문항은 무리식이 들어 있는 ∞−∞ 꼴의 극한을 분자의 유리화로 정리하고, 극한값이 수렴하기 위한 조건으로 미정계수를 결정할 수 있는지를 확인합니다. 이차함수 f(x)를 ax2+bx+c로 놓고 두 조건에서 a, b, c를 차례로 찾아내는 구조입니다.
첫 번째 조건에서는 “극한값이 존재하려면 분자의 차수가 분모의 차수보다 높으면 안 된다”는 판단이 핵심이고, 두 번째 조건에서는 f(x)−f(−x)를 계산하면 짝수차항이 모두 사라진다는 점을 알아채야 정답에 빠르게 도달합니다.
단계별 힌트
f(x)=ax2+bx+c (a≠0)로 놓고 시작하세요. √f(x)−2x는 x→∞일 때 ∞−∞ 꼴이므로, 분자와 분모에 √f(x)+2x를 곱해 분자를 유리화하는 것이 첫걸음입니다.
두 번째 조건은 f(x)와 f(−x)를 직접 써서 빼 보면 됩니다.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
유리화하면 분자는 f(x)−4x2=(a−4)x2+bx+c, 분모는 √ax2+bx+c+2x가 됩니다. 분모는 x의 일차식처럼 커지므로, 극한값이 1로 수렴하려면 분자에 x2항이 남아 있으면 안 됩니다. 즉 a−4=0이어야 합니다.
그다음 분자와 분모를 각각 x로 나누면 극한값이 b√a+2로 정리됩니다. 한편 f(x)−f(−x)를 계산하면 x2항과 상수항은 소거되고 x항만 두 배로 남습니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
첫 번째 조건에서 a와 b를 구한 뒤, 두 번째 조건의 좌변을 계산한 값이 f(0), 즉 상수항 c와 같다는 식을 세우면 c가 나옵니다. 마지막으로 f(1)=a+b+c를 계산하세요.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ② 16
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A분자를 유리화해 a 결정하기
f(x)=ax2+bx+c로 놓고 유리화하면 limx→∞ (a−4)x2+bx+c√ax2+bx+c+2x입니다. 이 극한이 1로 수렴하려면 분자의 x2항이 없어야 하므로 a−4=0, 즉 a=4입니다.
STEP B분자·분모를 x로 나눠 b 결정하기
분자와 분모를 x로 나누면 극한값은 b√a+2=b4이고, 이것이 1이므로 b=4입니다. 따라서 f(x)=4x2+4x+c입니다.
STEP C두 번째 조건으로 c 결정하고 f(1) 구하기
f(x)−f(−x)=(4x2+4x+c)−(4x2−4x+c)=8x이므로 limx→∞ 8xx=8입니다. 이 값이 f(0)=c와 같으므로 c=8이고, f(1)=4+4+8=16입니다.
1등급 다른 풀이 · 근사식으로 극한값 바로 읽기
x→∞일 때 √ax2+bx+c는 √ax+b2√a에 한없이 가까워집니다. 즉 limx→∞(√ax2+bx+c−√ax)=b2√a이라는 결과를 알고 있으면 유리화 계산을 생략할 수 있습니다.
√f(x)−2x가 수렴하려면 √ax와 2x가 상쇄되어야 하므로 √a=2, a=4이고, 이때 극한값은 b4=1이므로 b=4입니다. 두 번째 조건도 “f(x)−f(−x)는 홀수차항의 2배”라는 사실을 쓰면 2bx=8x에서 바로 8=c가 됩니다. 단, 이 근사식은 x→∞일 때 기준이며, x→−∞이면 √x2=−x가 되어 부호가 달라지므로 주의해야 합니다.
실수를 줄이는 전략
- 유리화 후 바로 x로 나누면서 a−4=0 조건을 따로 세우지 않으면 b와 a가 섞인 식만 남아 풀이가 막힙니다. “분자의 차수 ≤ 분모의 차수”부터 확인하세요.
- 분모를 x로 나눌 때 √ax2+bx+c를 x로 나누면 근호 안은 x2으로 나뉩니다. √a+bx+cx2 꼴로 정확히 쓰세요.
- f(−x)를 쓸 때 4x2의 부호는 그대로, 4x만 −4x로 바뀝니다. 부호를 잘못 바꾸면 f(x)−f(−x)가 0이나 8x2이 되는 엉뚱한 결과가 나옵니다.
- 우변 f(0)은 0이 아니라 상수항 c입니다. f(0)=0으로 착각하면 c를 구할 수 없습니다.
엄선된 풀이 영상
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