기초 필수
함수의 극한의 대소 관계
∞/∞ 꼴의 극한
출제의도
이 문항은 함수 f(x)의 식을 직접 알려 주지 않고 부등식으로만 범위를 준 뒤, 함수의 극한의 대소 관계를 이용해 극한값을 구할 수 있는지를 확인합니다. 양쪽 끝 함수의 극한값이 같으면 가운데 함수의 극한값도 그 값으로 정해진다는 성질이 핵심입니다.
특히 구하는 식이 f(x)가 아니라 f(2x)라는 점이 함정입니다. 부등식의 x 자리에 2x를 넣을 때 일차항만 바뀌고 상수항은 그대로라는 것을 정확히 처리해야 정답에 도달합니다.
단계별 힌트
세 함수 g(x)≤h(x)≤k(x)에서 양쪽 g(x), k(x)의 극한값이 같은 값 α이면 가운데 h(x)의 극한값도 α입니다. 이것이 함수의 극한의 대소 관계입니다.
이 성질을 쓰려면 가운데에 f(x)만 남도록 부등식을 먼저 정리해야 합니다. 양변을 전개한 뒤 세 변 모두에서 같은 식을 빼 보세요.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
정리한 부등식은 모든 양의 실수 x에 대해 성립하므로, x 대신 2x를 넣어도 성립합니다. 이렇게 f(2x)의 범위를 만드세요.
그다음 세 변을 6x+1로 나눕니다. x>0이면 6x+1>0이므로 부등호의 방향은 그대로 유지됩니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
양쪽 끝 식은 모두 (일차식)/(일차식) 꼴이므로 x→∞일 때의 극한값은 최고차항의 계수의 비입니다. 두 극한값이 같은지 확인하고, 같다면 그 값이 답입니다.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ④ 43
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A가운데에 f(x)만 남기기
x(x+4)≤f(x)+x2≤(x+2)2을 전개하면 x2+4x≤f(x)+x2≤x2+4x+4이고, 세 변에서 x2을 빼면 4x≤f(x)≤4x+4입니다.
STEP Bx 대신 2x 대입 후 6x+1로 나누기
x 대신 2x를 넣으면 8x≤f(2x)≤8x+4입니다. x>0에서 6x+1>0이므로 세 변을 6x+1로 나누면 8x6x+1≤f(2x)6x+1≤8x+46x+1입니다.
STEP C양쪽 극한값 비교
limx→∞ 8x6x+1=86=43, limx→∞ 8x+46x+1=43으로 두 값이 같으므로, 함수의 극한의 대소 관계에 의해 구하는 극한값은 43입니다.
1등급 다른 풀이 · f(x)/x의 극한을 먼저 구해 쪼개기
STEP A의 4x≤f(x)≤4x+4를 x(>0)로 나누면 4≤f(x)x≤4+4x이므로 limx→∞ f(x)x=4입니다.
이제 구하는 식을 f(2x)6x+1=f(2x)2x×2x6x+1로 쪼갭니다. x→∞이면 2x→∞이므로 앞의 인수는 4로, 뒤의 인수는 13로 수렴하여 답은 4×13=43입니다. 이 방법은 분모가 6x+1이 아닌 다른 식으로 바뀌어도 lim f(x)/x=4 하나만 기억해 두면 곧바로 적용할 수 있어, 같은 조건에서 여러 극한을 묻는 변형 문항에 강합니다.
실수를 줄이는 전략
- 부등식의 가운데는 f(x)가 아니라 f(x)+x2입니다. x2을 가운데에서만 빼지 말고 세 변 모두에서 빼야 부등식이 유지됩니다.
- x 대신 2x를 넣을 때 4x는 8x가 되지만 상수 4는 그대로 4입니다. 8x+8로 쓰는 실수가 잦으니 “x가 있는 항만 바뀐다”를 기억하세요.
- 6x+1로 나누기 전에 부호를 확인하는 습관을 들이세요. 조건이 “모든 양의 실수 x”이므로 6x+1>0이라 부등호 방향이 바뀌지 않습니다.
- 대소 관계로 극한값을 확정할 수 있는 것은 양쪽 끝의 극한값이 같을 때뿐입니다. 두 값을 모두 계산해 일치하는지 반드시 확인하세요.