기초 필수
∞/∞ 꼴의 극한
0/0 꼴과 미정계수
출제의도
이 문항은 다항함수의 극한 조건 두 개를 각각 어떤 정보로 바꿔 읽는지 확인합니다. x→∞일 때의 극한은 다항함수의 차수와 최고차항의 계수를, x→0일 때의 극한은 상수항과 일차항의 계수를 알려 줍니다.
특히 x→0일 때 분모가 0으로 가는데 극한값이 존재한다는 조건에서 “분자도 0으로 가야 한다”를 끌어내는 것이 핵심입니다. 이 논리를 건너뛰면 미정계수 하나를 결정하지 못해 f(1)을 구할 수 없습니다.
단계별 힌트
다항식끼리의 분수에서 x→∞일 때 극한값이 0이 아닌 실수로 수렴하려면 분자와 분모의 차수가 같아야 하고, 그 극한값은 최고차항의 계수의 비가 됩니다.
분모 x2+1은 이차식이고 극한값이 3이므로, f(x)가 몇 차식이고 최고차항의 계수가 얼마인지부터 정하세요.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
f(x)=3x2+ax+b로 놓고 두 번째 조건을 보세요. x→0일 때 분모 x는 0으로 가는데 극한값 7이 존재합니다.
이런 경우 (분모)→0이고 극한값이 존재하므로 (분자)→0이어야 합니다. 분자에 x=0을 넣은 값이 0이 되어야 한다는 식을 세우면 상수항 b가 결정됩니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
b의 값을 넣으면 분자의 모든 항에 x가 있으므로 분모의 x와 약분할 수 있습니다. 약분한 일차식에서 x→0일 때의 극한값이 7이라는 식으로 a를 구하고, 완성된 f(x)에 x=1을 대입하세요.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ④ 10
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP Ax→∞ 조건으로 차수와 최고차항 결정
limx→∞ f(x)x2+1=3이므로 f(x)는 최고차항의 계수가 3인 이차함수입니다. f(x)=3x2+ax+b (a, b는 상수)로 놓습니다.
STEP Bx→0 조건에서 분자→0 끌어내기
limx→0 3x2+ax+bx=7에서 (분모)→0이고 극한값이 존재하므로 (분자)→0입니다. 즉 limx→0(3x2+ax+b)=b=0입니다.
STEP C약분 후 a 결정, f(1) 계산
7=limx→0 3x2+axx=limx→0(3x+a)=a이므로 a=7입니다. 따라서 f(x)=3x2+7x이고 f(1)=3+7=10입니다.
1등급 다른 풀이 · 처음부터 인수 x를 넣어 두기
x→0일 때 f(x)/x의 극한값이 존재한다는 것은 f(0)=0, 즉 f(x)가 x를 인수로 가진다는 뜻입니다. 여기에 STEP A의 결과를 합치면 처음부터 f(x)=x(3x+a)로 놓을 수 있습니다.
그러면 f(x)x=3x+a이므로 x→0일 때의 극한값은 바로 a=7이 되고, f(1)=1×(3+7)=10을 한 줄로 얻습니다. 미정계수가 두 개에서 한 개로 줄어들어 계산 실수가 생길 틈이 없습니다. 이 “분자→0이면 인수를 미리 넣어 둔다”는 발상은 조건이 여러 개 붙는 Level 2 이상 문항에서 특히 시간을 크게 줄여 줍니다.
실수를 줄이는 전략
- 극한값 3은 (f(x)의 최고차항의 계수)÷(분모의 최고차항의 계수 1)입니다. 계수를 13로 뒤집어 쓰지 않도록 비의 순서를 확인하세요.
- f(x)가 삼차 이상이면 x→∞일 때 발산하고, 일차 이하이면 극한값이 0이 됩니다. 극한값이 0이 아닌 수이므로 f(x)는 정확히 이차식이라는 점을 짚고 넘어가세요.
- x→0 조건에 바로 x=0을 대입하면 분모가 0이 되어 식이 성립하지 않습니다. 반드시 “(분모)→0, 극한값 존재 ⇒ (분자)→0” 순서로 b=0을 먼저 구하세요.
- 마지막에 f(1)을 구할 때 상수항 b=0을 빠뜨리지 않았는지, 식 f(x)=3x2+7x에 두 조건을 다시 넣어 확인하면 안전합니다.