최고난도
조건이 붙은 귀납적 정의
경우 나누기
출제의도
이 문항은 대소 비교에 따라 규칙이 갈리는 점화식을 다룹니다. an≤an+1이면 an+2=an+1로 한 칸 올라가고, an>an+1이면 an+2=an+1로 앞 항을 그대로 복사합니다. 규칙 자체는 단순하지만, 어느 규칙이 적용될지가 내가 아직 모르는 a1, a2의 대소로 결정되기 때문에 경우를 나누지 않으면 한 걸음도 나아갈 수 없습니다.
Level 3 마지막 문항답게 요구하는 것은 계산력이 아니라 빠짐없이 나누고, 각 경우마다 가정을 끝까지 검증하는 태도입니다. 실제 수능에서도 이런 조건부 점화식은 “처음 두세 항만 직접 따져 보면 그 뒤는 안정적인 패턴으로 굳어진다”는 구조로 자주 출제되므로, 이 문항의 흐름을 손에 익혀 두면 유사 문항을 훨씬 짧은 시간에 정리할 수 있습니다.
단계별 힌트
a3의 값은 a1과 a2 중 어느 쪽이 큰지에 따라 완전히 달라집니다. 그러니 가장 먼저 할 일은 a1≤a2인 경우와 a1>a2인 경우로 나누는 것입니다.
a1≤a2이면 a3=a1+1, a1>a2이면 a3=a2입니다. 여기까지 손으로 써 놓고 시작하세요.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
a3을 구했다고 끝이 아닙니다. a4를 정하려면 이번에는 a2와 a3의 대소를 다시 판정해야 합니다. 즉 a1≤a2인 경우 안에서 다시 a2≤a3인지 a2>a3인지로 한 번 더 갈라집니다.
반대로 a1>a2인 경우에는 a3=a2이므로 a2≤a3(등호 성립)이 자동으로 확정됩니다. 부등호에 등호가 포함되어 있다는 점을 놓치지 마세요. 결국 따져야 할 갈래는 모두 세 가지입니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
세 갈래 각각에서 a3부터 a10까지 써 보면, 홀수 번째 항끼리·짝수 번째 항끼리 1씩 커지는 등차수열이 된다는 것이 보입니다. 그러면 10개 항의 합을 a1, a2에 대한 일차식으로 정리할 수 있습니다.
합이 50이라는 식을 세운 뒤에는 반드시 처음에 가정했던 부등식(예: a2>a3)을 다시 조건으로 넣어 a1 또는 a2의 범위를 좁히세요. 이 검증을 빠뜨리면 답이 6개보다 많아집니다.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ① 6
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP Aa1과 a2의 대소로 큰 두 경우를 나누기
a1≤a2이면 a3=a1+1, a1>a2이면 a3=a2입니다. 앞의 경우는 a2와 a3의 대소가 아직 정해지지 않았으므로 한 번 더 갈라집니다.
STEP B(i)-① a1≤a2, a2≤a3인 경우 → 1개
a4=a2+1이고 이후에도 an≤an+1이 계속 유지되어 홀수항은 a1, a1+1, a1+2, a1+3, a1+4, 짝수항은 a2, a2+1, …, a2+4가 됩니다. 합은 5a1+5a2+20=50이므로 a1+a2=6입니다. 여기에 가정 a1≤a2≤a1+1을 넣으면 52≤a1≤3이므로 a1=3, a2=3. 순서쌍은 (3, 3) 하나뿐입니다.
STEP C(i)-② a1≤a2, a2>a3인 경우 → 2개
a4=a3=a1+1이 되어 a3부터는 a1+1, a1+1, a1+2, a1+2, a1+3, a1+3, a1+4, a1+4로 두 개씩 짝을 지어 올라갑니다. 합은 9a1+a2+20=50이므로 9a1+a2=30. 가정 a2>a1+1을 대입하면 30−9a1>a1+1, 즉 a1<2910이므로 a1=1, 2. 순서쌍은 (1, 21), (2, 12) 두 개입니다.
STEP D(ii) a1>a2인 경우 → 3개
a3=a2이므로 a2≤a3이 되어 a4=a2+1, 이후 a5=a2+1, a6=a2+2, …, a10=a2+4입니다. 합은 a1+9a2+16=50이므로 a1+9a2=34. 가정 a1>a2에서 34−9a2>a2, 즉 a2<175이므로 a2=1, 2, 3. 순서쌍은 (25, 1), (16, 2), (7, 3) 세 개입니다.
STEP E세 경우를 합해 개수 세기
서로 겹치는 순서쌍이 없으므로 구하는 개수는 1+2+3=6이고, 정답은 ①입니다.
1등급 다른 풀이 · a3, a4만 구하고 끝내기
세 갈래를 끝까지 전개하지 않고도 답에 도달할 수 있습니다. 핵심은 a3≤a4≤a3+1이 성립하면 그 이후로는 같은 관계가 저절로 반복된다는 점입니다. 실제로 a3≤a4이면 a5=a3+1이고, a4≤a3+1=a5이므로 a6=a4+1이 되어 a5≤a6≤a5+1이 다시 성립합니다.
그러면 a3, a5, a7, a9는 a3부터 공차 1인 등차수열이므로 합이 4a3+6, 마찬가지로 a4, a6, a8, a10의 합은 4a4+6입니다. 따라서 조건 (나)는 언제나
a1+a2+4a3+4a4=38
이라는 하나의 식으로 바뀝니다. 이제 세 갈래에서 (a3, a4)만 구해 대입하면 끝입니다. (i)-①은 (a1+1, a2+1)이므로 a1+a2=6, (i)-②는 (a1+1, a1+1)이므로 9a1+a2=30, (ii)는 (a2, a2+1)이므로 a1+9a2=34가 곧바로 나옵니다. 10개 항을 매번 나열하는 시간을 절반 이하로 줄일 수 있습니다.
실수를 줄이는 전략
- 부등호의 등호 위치를 정확히 보세요. 조건은 an≤an+1일 때 +1이므로, 두 항이 같을 때도 +1 규칙을 씁니다. a1>a2인 경우 a3=a2가 되어 a2=a3이 되는 순간이 바로 이 지점입니다.
- a1>a2일 때 a3=a1로 쓰는 실수가 가장 많습니다. 규칙은 뒤 항(an+1)을 복사하는 것이므로 a3=a2입니다.
- 합이 50이라는 식만 풀고 끝내면 안 됩니다. 처음에 세운 가정(a1≤a2, a2>a3 등)을 마지막에 반드시 부등식으로 다시 대입해 자연수 범위를 좁히세요. 이 검증이 답의 개수를 결정합니다.
- a1, a2는 자연수이므로 1 이상입니다. a1<2.9에서 a1=0을 포함시키거나, 분수 경계를 반올림해 한 개를 더 세는 실수를 조심하세요.
- 묻는 것은 순서쌍의 개수입니다. (1, 21)과 (21, 1)은 서로 다른 순서쌍이며, 이 문항에서는 세 경우가 서로 겹치지 않으므로 중복을 빼지 않고 그대로 더하면 됩니다.
엄선된 풀이 영상
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