실력 완성
부분분수 분해 · 망원합
Sn과 an의 관계
홀수 번째 항만 모으기
출제의도
이 문항은 합 기호 안의 복잡한 식을 먼저 간단히 정리한 뒤, 그 결과를 이용해 수열 자체의 정체를 밝혀내는 2단 구조의 문제입니다. 겉보기에는 Σ 계산 문제처럼 보이지만, 실제 승부처는 Σ를 계산한 다음 남는 Sn과 Sn+1의 관계식을 읽어내는 데 있습니다.
분자의 ak+1을 Sk+1−Sk로 바꾸는 순간 부분분수 꼴이 만들어지고, 중간 항이 모두 지워지는 망원합(telescoping)이 됩니다. 여기까지가 1단계입니다. 그 결과를 조건식에 대입하면 Sn+1이 Sn의 상수배로 표현되므로 {Sn}이 등비수열임을 알게 되고, 다시 an=Sn−Sn−1로 일반항을 찾는 것이 2단계입니다.
마지막으로 홀수 번째 항만 더하는 합을 묻기 때문에, a1이 일반항 공식에서 벗어난다는 점(n≥2에서만 성립)을 눈치채야 합니다. Level 3 문항에서 가장 자주 실점이 나오는 지점이 바로 이 첫째항 분리입니다.
단계별 힌트
Σ 안에 a와 S가 섞여 있으면 둘 중 한쪽으로 통일하는 것이 첫걸음입니다. 이 문항에서는 분모가 SkSk+1이므로, 분자의 ak+1을 S로 바꾸는 쪽이 자연스럽습니다.
수열의 합과 일반항 사이에는 an=Sn−Sn−1 (n≥2)이라는 관계가 있습니다. 첨자를 한 칸 올려서 ak+1을 Sk+1과 Sk로 어떻게 쓸 수 있는지 적어 보세요.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
분자가 분모를 이루는 두 수의 차가 되면 부분분수로 쪼갤 수 있습니다.
Sk+1−SkSkSk+1 = 1Sk − 1Sk+1
이 꼴로 바꾸어 k=1부터 n까지 더하면 가운데 항들이 서로 지워지고 맨 앞과 맨 뒤만 남습니다. 남는 것은 1/S1 − 1/Sn+1이고, 첫째항이 1이므로 S1=a1=1입니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
Σ의 값이 1 − 1/Sn+1이므로 이것을 조건식에 넣고 전개하면 Sn이 양변에서 소거되어 Sn과 Sn+1만의 간단한 관계식이 남습니다. 여기서 공비가 보입니다.
{Sn}의 일반항을 구했다면 n≥2에서 an=Sn−Sn−1로 일반항을 만드세요. 그 다음 구하는 합이 a1+a3+a5+a7+a9라는 것을 확인하고, a1은 일반항 공식이 적용되지 않으므로 따로 떼어 나머지 네 항만 등비수열의 합 공식으로 계산하면 됩니다.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ⑤ 511256
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP AΣ 안을 부분분수로 바꿔 망원합 만들기
ak+1=Sk+1−Sk이므로 Σ 안의 식은 1/Sk − 1/Sk+1이 됩니다. k=1부터 n까지 더하면 중간 항이 모두 지워져 1/S1 − 1/Sn+1만 남고, S1=a1=1이므로 Σ의 값은 1 − 1/Sn+1입니다.
STEP B조건식에 대입해 Sn의 공비 찾기
Sn×(1 − 1/Sn+1) = Sn+2를 전개하면 Sn이 소거되어 −Sn/Sn+1=2, 즉 Sn+1=−12Sn입니다. S1=1이므로 {Sn}은 첫째항 1, 공비 −12인 등비수열이고 Sn=(−12)n−1입니다.
STEP C일반항 an 구하기 (n≥2)
an=Sn−Sn−1=(−1/2)n−1−(−1/2)n−2=3×(−12)n−1 (n≥2)입니다. 여기에 n 대신 2n+1을 넣으면 a2n+1=3×(−1/2)2n=34×(14)n−1, 즉 {a2n+1}은 첫째항 34, 공비 14인 등비수열입니다.
STEP D첫째항을 분리하고 등비수열의 합으로 마무리
구하는 값은 a1+a3+a5+a7+a9입니다. a1=1은 따로 두고 나머지 네 항은 첫째항 3/4, 공비 1/4인 등비수열의 첫 4항이므로 그 합은 34×1−(1/4)41−1/4 = 255256입니다. 따라서 1 + 255256 = 511256이고 정답은 ⑤입니다.
1등급 다른 풀이 · 짝수항과 홀수항의 관계로 한 번에 잡기
Sn=(−1/2)n−1까지 구한 뒤에는 등비수열의 합 공식을 쓰지 않고도 답을 낼 수 있습니다. n≥2에서 an+1=−12an이므로, 짝수 번째 항 바로 뒤의 홀수 번째 항은 그 항의 −1/2배입니다.
구하는 홀수항의 합을 O, 짝수항의 합 a2+a4+a6+a8을 T라 하면 a3+a5+a7+a9=−12T이므로 O=1−12T입니다. 한편 O+T=S9=(−1/2)8=1256이므로 T=1256−O를 대입하면 12O=511512, 즉 O=511256입니다.
거듭제곱 계산이 거의 없어 실전에서 시간을 크게 아낄 수 있고, S9 하나만 정확히 구하면 되므로 검산용으로도 좋습니다.
실수를 줄이는 전략
- an=Sn−Sn−1은 n≥2에서만 성립합니다. 이 문항의 마지막 합에는 a1이 들어 있으므로, 일반항 3×(−1/2)n−1에 n=1을 그대로 넣으면 3이 되어 틀립니다. 실제 a1은 1입니다.
- Σk=15 a2k−1은 a1부터 a9까지 다섯 항입니다. 항의 개수를 4개로 세거나 a11까지 더하는 실수가 잦으니 k에 1,2,3,4,5를 직접 대입해 확인하세요.
- 공비가 음수 −1/2라는 점을 잊지 마세요. 홀수 지수에서는 부호가 −가 되지만, a2n+1에서는 지수가 2n(짝수)이라 부호가 +가 됩니다. 이 부호 처리를 대충 하면 답이 ①이나 ③ 같은 오답으로 흐릅니다.
- 부분분수로 쪼갤 때는 반드시 분자가 분모 두 인수의 차인지 확인하세요. 차가 아니라면 상수를 곱해 맞춰 주어야 하는데, 이 문항은 ak+1=Sk+1−Sk라서 계수 조정 없이 바로 떨어집니다.
- 선택지의 507/256, 509/256, 255/128은 모두 511/256에서 한 항을 빠뜨리거나 부호를 한 번 틀렸을 때 나오는 값입니다. 마지막에 a1=1을 더했는지 꼭 확인하세요.
엄선된 풀이 영상
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