수능특강 수학Ⅰ 수열의 합과 수학적 귀납법 Level 3 1번

01
최고난도

06 수열의 합과 수학적 귀납법
부분합의 최솟값과 항의 부호
절댓값이 포함된 ∑ 계산

출제의도

이 문항은 “부분합이 최소가 되는 지점은 항의 부호가 음에서 양으로 바뀌는 자리”라는 등차수열의 핵심 감각을 묻습니다. 조건 (가)에서 최소가 되는 n이 8 하나뿐이라고 못 박은 것이 결정적인 장치로, 이 ‘유일하다’는 표현 때문에 a₈<0, a₉>0이라는 등호 없는 부등식이 확정됩니다.

조건 (나)는 a_k+|a_k|라는 식을 통해 음수 항은 0으로 사라지고 양수 항만 2배로 살아남는 구조를 만들어 둡니다. 여기에 우변의 절댓값을 벗기기 위해 ∑_k=1¹⁴a_k의 부호를 먼저 판정해야 하고, 마지막에는 ‘모든 항이 정수’라는 조건으로 정수해를 걸러 최댓값을 잡아야 합니다. 부호 판정 → 식 정리 → 정수 조건, 세 층이 겹쳐 있어 Level 3 첫 문항다운 난도를 보여 줍니다.

단계별 힌트

1단계 힌트를 먼저 읽고 직접 풀어보세요. 막히면 아래 버튼을 눌러 2단계, 3단계 힌트를 하나씩 열어 확인하면 됩니다.

힌트 1단계 · 먼저 떠올릴 개념

S_n=a₁+a₂+⋯+a_n이라 할 때, S_n과 S_n-1의 차이는 바로 a_n입니다. 즉 더해지는 항이 음수면 부분합은 줄어들고, 양수면 늘어납니다.

그러므로 “S_n이 n=8에서 최소”라는 말은 8번째 항까지는 계속 줄어들다가 9번째 항부터 늘어난다는 뜻입니다. 8번째 항과 9번째 항의 부호를 각각 어떻게 써야 할지 생각해 보세요. 특히 최소가 되는 n이 ‘8뿐’이라는 단서가 어떤 등호를 막고 있는지가 핵심입니다.

힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요

S₇>S₈, S₈<S₉에서 a₈=S₈-S₇<0, a₉=S₉-S₈>0을 얻습니다. 만약 a₉=0이라면 S₉=S₈이 되어 최소가 되는 n이 8과 9 둘이 되므로 조건 (가)에 어긋납니다.

첫째항을 a, 공차를 d라 하면 a+7d<0, a+8d>0에서 -8d<a<-7d이고, 이런 a가 존재하려면 -8d<-7d, 즉 d>0이어야 합니다. d>0이므로 a₁부터 a₈까지는 모두 음수, a₉부터는 모두 양수입니다.

이제 조건 (나)의 좌변을 보세요. a_k<0이면 a_k+|a_k|=a_k-a_k=0이고, a_k>0이면 a_k+|a_k|=2a_k입니다. 즉 k=1부터 8까지는 통째로 0이 되어 사라집니다.

힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요

좌변은 2(a₉+a₁₀+a₁₁)만 남습니다. 세 항은 등차수열에서 연속하므로 가운데 항의 3배, 즉 2×3a₁₀=6a₁₀으로 한 번에 정리됩니다.

우변은 절댓값을 벗기기 전에 부호부터 판정하세요. -8d<a<-7d의 각 변에 2를 곱하면 -16d<2a<-14d이므로 2a+13d<-d<0입니다. 따라서 ∑_k=1¹⁴a_k=7(2a+13d)는 음수이고, 절댓값을 벗기면 부호가 뒤집힙니다.

식을 정리해 a를 d로 나타낸 다음, a와 d가 모두 정수라는 조건과 d>0을 함께 써서 d가 어떤 꼴이어야 하는지 찾아보세요. 그 뒤 a₁=a가 가장 커지는 경우를 고르면 됩니다.

정답 확인 누르면 정답이 보여요

정답 ① -29

상세 해설

수능특강 수학Ⅰ 수열의 합과 수학적 귀납법 Level 3 1번 상세 해설 1

풀이 흐름 한눈에 정리

해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.

STEP A조건 (가)를 두 개의 부등식으로 바꾸기

최소가 되는 n이 8뿐이므로 ∑_k=1⁷a_k>∑_k=1⁸a_k, ∑_k=1⁸a_k<∑_k=1⁹a_k입니다. 두 식을 각각 빼면 a₈<0, a₉>0을 얻습니다. 첫째항 a, 공차 d로 쓰면 a+7d<0, a+8d>0이므로 -8d<a<-7d ⋯⋯ ㉠이고, 이 범위가 비어 있지 않으려면 d>0입니다.

STEP B조건 (나)의 좌변 정리하기

d>0이므로 k≤8이면 a_k<0이어서 a_k+|a_k|=0, k≥9이면 a_k>0이어서 a_k+|a_k|=2a_k입니다. 따라서
∑_k=1¹¹(a_k+|a_k|)=∑_k=9¹¹2a_k=2(a₉+a₁₀+a₁₁)=2×3a₁₀=6a+54d입니다.

STEP C우변의 절댓값을 부호 판정으로 벗기기

∑_k=1¹⁴a_k=14(2a+13d)2=7(2a+13d)이고, ㉠에서 -16d<2a<-14d이므로 2a+13d<-d<0, 즉 이 합은 음수입니다. 따라서 조건 (나)는 6a+54d=-7(2a+13d)가 되고, 정리하면 20a=-145d에서 a=-294d입니다.

STEP D정수 조건으로 최댓값 고르기

a, d가 모두 정수이고 d>0이므로 d=4m (m은 자연수)이라 할 수 있고, 이때 a=-29m입니다. m≥1이므로 a=-29m≤-29이고, m=1일 때 a=-29, d=4로 ㉠(-32<-29<-28)도 만족합니다. 따라서 a₁의 최댓값은 -29, 정답은 ①입니다.

1등급 다른 풀이 · 이차함수의 대칭축으로 보기

등차수열의 부분합 S_n=d2n²+(a-d2)n은 n에 대한 이차식입니다. d>0이면 아래로 볼록한 포물선 위의 점들이므로, 자연수 n 중에서 대칭축에 가장 가까운 n에서 최소가 됩니다.

최소가 되는 n이 8 하나뿐이라는 것은 대칭축 x=d-2a2d가 7.5와 8.5 사이에 양 끝을 빼고 놓인다는 뜻입니다(축이 정확히 7.5나 8.5이면 최소인 n이 두 개가 되어 조건에 어긋납니다). 이 조건을 풀면 STEP A의 -8d<a<-7d와 똑같은 범위가 나옵니다.

실제 확인해 보면 a=-29, d=4일 때 a_n=4n-33이고 a₈=-1<0, a₉=3>0, 좌변은 2(3+7+11)=42, 우변은 |7×(-58+52)|=|−42|=42로 조건 (나)도 정확히 성립합니다. 시험장에서는 이렇게 구한 값을 원래 조건에 대입해 검산하는 30초가 오답을 막아 줍니다.

실수를 줄이는 전략

‘최소가 되는 n의 값은 8뿐’에서 ‘뿐’을 반드시 읽어내세요. a₉≥0으로 느슨하게 잡으면 a₉=0인 경우가 끼어들어 n=8, 9 둘 다 최소가 되어 버립니다. 등호 하나 때문에 답이 달라집니다.
절댓값은 부호를 판정한 뒤에 벗기세요. ∑_k=1¹⁴a_k를 양수로 착각해 6a+54d=7(2a+13d)로 풀면 a와 d의 부호가 맞지 않아 d>0 조건과 충돌합니다.
a₉+a₁₀+a₁₁처럼 연속한 홀수 개의 항의 합은 가운데 항의 개수배입니다. 하나씩 전개하면 계산이 길어지고 부호 실수가 늘어납니다.
마지막의 ‘모든 항이 정수’ 조건을 빠뜨리지 마세요. a=-294d에서 분모 4를 없애려면 d가 4의 배수여야 하고, 이 조건이 있어야 a₁의 최댓값이 -29로 확정됩니다.
d>0인지 d<0인지는 문제에 직접 주어지지 않습니다. -8d<a<-7d라는 범위가 존재해야 한다는 사실에서 d>0을 끌어내는 논리를 기억해 두세요. 등차수열 부등식 문항에서 반복해서 쓰입니다.

엄선된 풀이 영상

위 풀이 흐름을 영상으로 한 번 더 확인하고 싶다면 재생 버튼을 누르세요.

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