함정 주의
공비 결정
정수 조건과 소인수분해
출제의도
이 문항은 식을 정리해 공비 후보를 구한 뒤, 부호와 정수 조건으로 후보를 하나씩 지워 나가는 과정을 평가합니다. 조건 (가)는 이차방정식으로 정리되어 공비 후보 두 개를 주고, 조건 (나)는 그중 하나만 살아남게 만들며, 마지막 a6>0이 첫째항의 부호를 결정합니다.
특히 ‘두 자연수 p, q가 존재한다‘는 표현이 핵심입니다. p와 q를 직접 구해야 하는 문제이면서, 동시에 −18이라는 값을 a2과 (−2)의 거듭제곱으로 쪼개는 정수 감각을 요구합니다. 단순 계산 문제가 아니라 조건을 순서대로 쓰는 설계 문제입니다.
단계별 힌트
첫째항을 a, 공비를 r이라 하고 조건 (가)의 모든 항을 a와 r로 바꿔 쓰세요. a2=ar, a3=ar2이므로 2a(a+ar2)=5ar(a+ar) 꼴이 됩니다.
양변을 잘 보면 공통인수 a2이 통째로 묶입니다. 등비수열이므로 a≠0임을 이용해 a2으로 나누면 r에 대한 이차방정식이 남습니다. 이 방정식을 인수분해해 보세요.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
정리하면 3r2+5r−2=0, 즉 (3r−1)(r+2)=0이므로 r=13 또는 r=−2입니다. 두 후보 중 어느 쪽인지는 조건 (나)가 정합니다.
ap×aq=(arp−1)(arq−1)=a2rp+q−2=−18입니다. a2>0이므로 rp+q−2<0이어야 하고, 거듭제곱이 음수가 되려면 밑이 음수여야 합니다. 공비가 양수인 수열은 모든 항의 부호가 같아 두 항의 곱이 음수가 될 수 없습니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
r=−2이므로 a2×(−2)p+q−2=−18입니다. a가 정수이므로 a2은 양의 정수, (−2)p+q−2은 −2의 거듭제곱입니다. 18=2×32을 이 두 조각으로 나누어 보세요. 홀수 제곱수 부분과 −2 부분이 어떻게 갈리는지가 열쇠입니다.
p+q가 정해지면 p<q인 자연수 쌍은 몇 가지뿐입니다. 마지막으로 a6=a×(−2)5>0이라는 조건에서 a의 부호를 결정하면 ap−aq를 계산할 수 있습니다.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ① −9
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A조건 (가)를 정리해 공비 후보 구하기
2a(a+ar2)=5ar(a+ar)에서 좌변은 2a2(1+r2), 우변은 5a2r(1+r)입니다. a≠0이므로 a2으로 나누면 2+2r2=5r+5r2, 즉 3r2+5r−2=0이고 (3r−1)(r+2)=0에서 r=13 또는 r=−2입니다.
STEP B부호 조건으로 공비를 확정하기
ap×aq=a2rp+q−2=−18<0이고 a2>0이므로 rp+q−2<0, 따라서 r<0입니다. r=13이면 모든 항의 부호가 같아 두 항의 곱이 음수가 될 수 없으므로 r=−2입니다.
STEP C정수 조건으로 p, q 찾기
a2×(−2)p+q−2=−18에서 a2은 양의 정수이고 (−2)p+q−2은 −2의 거듭제곱입니다. 18=2×32이므로 a2=9, (−2)p+q−2=−2로 갈립니다. 따라서 p+q−2=1, 즉 p+q=3이고 p<q인 자연수이므로 p=1, q=2입니다.
STEP Da6>0으로 첫째항을 정하고 답 구하기
a2=9에서 a=3 또는 a=−3인데, a6=a×(−2)5=−32a>0이므로 a<0, 즉 a=−3입니다. 따라서 an=−3×(−2)n−1이고, ap−aq=a1−a2=−3−{−3×(−2)}=−3−6=−9, 정답은 ①입니다.
1등급 다른 풀이 · 항 번호의 합을 이용하기
등비수열에는 항 번호의 합이 같으면 두 항의 곱도 같다는 성질이 있습니다. apaq=a2rp+q−2=a1ap+q−1이므로, p와 q를 따로 구할 필요 없이 합 p+q만 알면 됩니다.
r=−2, a=−3을 먼저 확정하면 a1=−3이므로 a1×ap+q−1=−18에서 ap+q−1=6입니다. 수열이 −3, 6, −12, 24, …이므로 6은 둘째항, 즉 p+q−1=2에서 p+q=3이고 p<q인 자연수 쌍은 (1, 2)뿐입니다. 지수를 다루지 않고 수열을 몇 항만 직접 나열하는 이 방식이 실전에서는 더 빠른 경우가 많습니다.
실수를 줄이는 전략
- 조건 (가)를 전개할 때 a2으로 나누는 근거는 등비수열의 첫째항은 0이 아니다라는 정의입니다. 해설에 ‘a=0 또는’이 등장하더라도 등비수열에서는 배제되는 경우임을 확실히 해 두세요.
- r=13을 지우는 근거는 계산이 아니라 부호입니다. 공비가 양수이면 모든 항의 부호가 첫째항과 같아 두 항의 곱은 반드시 양수가 됩니다.
- a2×(−2)k=−18을 나눌 때 a2=1, (−2)k=−18 같은 조합을 시도하기 쉽지만, −18은 −2의 거듭제곱이 아닙니다. −2의 거듭제곱은 ±2, ±4, ±8…뿐이라는 점에서 조합이 하나로 정해집니다.
- 마지막 a6>0 조건을 빼먹고 a=3으로 계산하면 ap−aq=3−(−6)=9가 되어 오답 ④로 이어집니다. (−2)5이 음수라는 점을 반드시 확인하세요.
- p<q라는 단서가 있으므로 ap−aq는 a1−a2이지 a2−a1이 아닙니다. 뺄셈의 순서만 바뀌어도 부호가 반대인 선택지가 준비되어 있습니다.
엄선된 풀이 영상
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“수능특강 수학Ⅰ 등차수열과 등비수열 Level 2 6번”에 대한 1개의 생각