수능특강 수학Ⅰ 등차수열과 등비수열 Level 2 1번

01
빈출 유형

05 등차수열과 등비수열
등차수열의 일반항
자연수 조건으로 범위 좁히기

출제의도

이 문항은 두 등차수열이 얽힌 등식을 보고 “무엇을 문자로 잡을 것인가”를 스스로 결정할 수 있는지를 묻습니다. 첫째항과 공차를 모두 미지수로 두면 문자가 4개나 되지만, 주어진 등식을 잘 정리하면 공차 하나로 거의 모든 값이 표현됩니다.

또 하나의 핵심은 ‘모든 항이 자연수’라는 조건입니다. 등식만으로는 답이 하나로 정해지지 않고, 자연수 조건이 k의 값을 하나로 확정해 주는 열쇠가 됩니다. 조건 문장을 장식으로 흘려보내지 않고 부등식으로 바꿔 쓰는 습관이 있는지를 확인하는 문항입니다.

단계별 힌트

1단계 힌트를 먼저 읽고 직접 풀어보세요. 막히면 아래 버튼을 눌러 2단계, 3단계 힌트를 하나씩 열어 확인하면 됩니다.

힌트 1단계 · 먼저 떠올릴 개념

두 수열의 공차를 각각 d, d′이라 두고 a_n=a₁+(n−1)d, b_n=b₁+(n−1)d′으로 씁니다. 여기서 바로 대입하지 말고, 주어진 등식을 같은 수열끼리 모이도록 이항해 보세요.

a₅−b₈=a₃−b₂에서 a₅와 a₃을 한쪽으로, b₈과 b₂를 다른 쪽으로 모으면 첫째항이 모두 사라지고 공차만 남습니다. 등차수열에서 두 항의 차는 ‘공차 × 번호 차이’라는 사실을 그대로 쓰면 됩니다.

힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요

1단계를 정리하면 a₅−a₃=b₈−b₂, 즉 2d=6d′이므로 d=3d′입니다. 이제 남은 등식 a₃−b₂=a₂도 같은 방식으로 다루어 보세요.

a₃−a₂=b₂로 옮겨 쓰면 왼쪽은 공차 d 그 자체입니다. 오른쪽 b₂=b₁+d′이므로 d=b₁+d′이 되고, 앞에서 얻은 d=3d′을 넣으면 b₁도 d′만으로 표현됩니다. 이렇게 하면 미지수가 a₁과 d′ 두 개로 줄어듭니다.

힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요

b₁=2d′이므로 b_n=(n+1)d′이고, a_n=a₁+3(n−1)d′입니다. a_k=b_k인 자연수 k가 존재한다는 조건을 그대로 식으로 옮기면 a₁을 k와 d′으로 나타낼 수 있습니다.

여기서 ‘모든 항이 자연수’라는 조건이 결정적입니다. a₁>0, d′>0이어야 하므로 a₁의 계수 부분이 양수가 되어야 하고, 그 부등식을 만족하는 자연수 k는 단 하나뿐입니다. k가 정해지면 a₆−b₄를 d′의 식으로 쓴 뒤 최솟값을 찾으면 됩니다.

정답 확인 누르면 정답이 보여요

정답 ② 12

상세 해설

수능특강 수학Ⅰ 등차수열과 등비수열 Level 2 1번 상세 해설 1

풀이 흐름 한눈에 정리

해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.

STEP A두 공차 사이의 관계 찾기

a₅−b₈=a₃−b₂를 a₅−a₃=b₈−b₂로 옮기면 2d=6d′, 즉 d=3d′입니다. 첫째항이 자동으로 사라지는 것이 이 변형의 이점입니다.

STEP Bb₁을 d′으로 표현하기

a₃−b₂=a₂를 a₃−a₂=b₂로 옮기면 d=b₁+d′입니다. d=3d′을 대입하면 b₁=2d′이므로 b_n=2d′+(n−1)d′=(n+1)d′이 됩니다.

STEP C자연수 조건으로 k 확정하기

a_k=b_k에서 a₁+(3k−3)d′=(k+1)d′이므로 a₁=(−2k+4)d′입니다. 모든 항이 자연수이므로 a₁>0, d′>0이고, −2k+4>0에서 k<2이므로 자연수 k는 k=1뿐입니다.

STEP Da₆−b₄의 최솟값 구하기

k=1이면 a₁=2d′이므로 a_n=(3n−1)d′, b_n=(n+1)d′입니다. 따라서 a₆−b₄=17d′−5d′=12d′이고, d′이 자연수이므로 d′=1일 때 최소가 되어 최솟값은 12입니다.

1등급 다른 풀이 · 계차 감각으로 곧장 읽기

등차수열에서 a_m−a_n=(m−n)d라는 사실만 기억하면, 주어진 두 등식을 각각 “번호 차이 × 공차”로 즉시 읽을 수 있습니다. 첫 번째 등식은 (5−3)d=(8−2)d′, 두 번째 등식은 (3−2)d=b₂ 한 줄로 끝납니다. 일반항을 쓰지 않고도 30초 안에 d=3d′과 b₁=2d′에 도달할 수 있습니다.

또한 a_n−b_n=(a₁−b₁)+(n−1)(d−d′)이므로 a_n−b_n 자체가 공차 2d′인 등차수열입니다. 이 관점에서 보면 “a_k=b_k인 k가 존재한다”는 것은 이 새 등차수열이 0을 지나간다는 뜻이고, 증가수열이므로 그 지점은 앞쪽에 딱 한 번뿐이라는 사실이 자연스럽게 보입니다.

실수를 줄이는 전략

등식을 보자마자 일반항을 대입하지 마세요. 같은 수열끼리 이항하면 첫째항이 소거되어 계산량이 절반 이하로 줄어듭니다.
‘모든 항이 자연수’는 장식이 아니라 부등식 조건입니다. a₁>0, d′>0으로 옮겨 적어야 k가 하나로 확정됩니다.
d′>0에서 멈추지 말고 d′이 자연수라는 점까지 확인하세요. 최솟값은 d′=1에서 나오므로 이 단계를 놓치면 답을 고를 수 없습니다.
k<2에서 k=0이나 k=−1을 후보로 넣는 실수가 잦습니다. 문제에서 k는 자연수이므로 k=1 하나뿐입니다.
d와 d′을 혼동해 a₆=17d′ 대신 17d로 쓰지 않도록, 마지막에 두 일반항을 다시 한 번 써 놓고 대입하세요.

엄선된 풀이 영상

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