기초 필수
부분합 Sn과 일반항
필요한 항만 골라 빼기
출제의도
이 문항은 부분합 Sn이 주어졌을 때 개별 항을 어떻게 꺼내는지, 그리고 여러 항의 합을 구할 때 하나씩 구하지 않고 전체에서 빼는 방법을 떠올릴 수 있는지를 확인합니다.
구하려는 것은 a2+a4+a5+a6+a7+a8인데, 여기에 a1과 a3만 더하면 첫째항부터 여덟째항까지의 합이 됩니다. 빠진 두 항이 무엇인지 먼저 알아채는 순간 계산량이 여섯 번에서 세 번으로 줄어듭니다. 이 ‘빠진 항 찾기’ 시각은 수열 단원 전체에서 계속 쓰이는 감각입니다.
단계별 힌트
Sn은 첫째항부터 제n항까지 모두 더한 값입니다. 그러므로 S8은 a1+a2+⋯+a8 전체를 뜻합니다.
구하려는 식과 S8을 나란히 놓고 비교해 보세요. 구하려는 식에는 첨자 1부터 8까지 중 어떤 두 개가 빠져 있는지 손가락으로 짚어 가며 확인하면 방향이 보입니다.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
부분합에서 개별 항을 꺼내는 기본 관계는 a1=S1, 그리고 n≥2일 때 an=Sn−Sn−1입니다. 첫째항만 규칙이 다르다는 점을 꼭 기억하세요.
또 하나, 여러 항의 합은 (전체 합)−(빠진 항들)로 바꿔 계산하는 것이 훨씬 빠릅니다. 이 문제에서 빠진 항은 a1과 a3 두 개뿐입니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
구하려는 값은 S8−a1−a3입니다. a1은 S1에 n=1을 대입해 바로 얻고, a3은 S3−S2로 구하세요.
Sn=n3+n에 n=1, 2, 3, 8을 차례로 넣어 네 개의 값만 계산하면 끝납니다. 83=512임을 이용하세요.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ⑤ 498
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A빠진 두 항 a1, a3 구하기
Sn=n3+n에서 a1=S1=1+1=2입니다. 또 a3=S3−S2=(27+3)−(8+2)=30−10=20입니다.
STEP B전체 합에서 두 항을 빼기
구하려는 식은 a1부터 a8까지의 합에서 a1과 a3을 뺀 것이므로 S8−a1−a3입니다. S8=512+8=520이므로 520−2−20=498이고, 정답은 ⑤입니다.
1등급 다른 풀이 · 일반항을 먼저 구해서 확인하기
시간이 있다면 일반항을 직접 구해 검산할 수 있습니다. n≥2일 때 an=Sn−Sn−1=(n3+n)−{(n−1)3+(n−1)}=3n2−3n+2입니다.
여기에 n=1을 넣으면 3−3+2=2로 a1=S1=2와 일치하므로, 이 수열은 모든 자연수 n에 대해 an=3n2−3n+2로 쓸 수 있습니다. n=3을 넣으면 27−9+2=20으로 STEP A의 a3과 같습니다. 다만 여섯 개 항을 일일이 더하는 것은 시간이 많이 걸리므로, 실전에서는 STEP B의 ‘전체에서 빼기’가 정답 루트입니다.
실수를 줄이는 전략
- a1은 S1−S0이 아니라 S1 그 자체입니다. S0을 만들어 쓰는 습관은 위험합니다.
- 구하는 식에서 빠진 항이 a1, a3임을 확인할 때 첨자를 2, 4, 5, 6, 7, 8로 또박또박 짚어 보세요. a3 대신 a2를 뺀 오답이 자주 나옵니다.
- S8을 구할 때 83을 64로 잘못 쓰는 실수가 많습니다. 82=64, 83=512로 구분하세요.
- 선택지가 466, 474, 482, 490, 498처럼 8 간격으로 촘촘합니다. 한 항만 잘못 빼도 다른 선택지에 정확히 걸리도록 설계되어 있으니 마지막 뺄셈을 반드시 한 번 더 확인하세요.
엄선된 풀이 영상
위 풀이 흐름을 영상으로 한 번 더 확인하고 싶다면 재생 버튼을 누르세요.