기초 필수
등차중항
등비중항
출제의도
이 문항은 ‘세 수가 이 순서대로 등차수열(또는 등비수열)을 이룬다’는 한 문장을 곧바로 식으로 옮길 수 있는지를 확인합니다. 수열의 일반항이나 공차·공비를 따로 구할 필요 없이, 가운데 항이 앞뒤 두 항과 맺는 관계 하나만 알면 끝나는 문제입니다.
등차중항과 등비중항은 이 단원에서 가장 자주 쓰이는 도구이면서, 뒤에 나오는 Level 2·3 문항에서도 조건을 식으로 바꾸는 첫 단추 역할을 합니다. 두 관계를 헷갈리지 않고 구분해 쓰는 연습을 이 문항에서 확실히 해 두세요.
단계별 힌트
세 수가 이 순서대로 등차수열을 이룬다는 것은, 가운데 항에서 앞의 항을 뺀 값과 뒤의 항에서 가운데 항을 뺀 값이 같다는 뜻입니다. 즉 두 칸의 간격이 같습니다.
세 수가 이 순서대로 등비수열을 이룬다는 것은, 가운데 항을 앞의 항으로 나눈 값과 뒤의 항을 가운데 항으로 나눈 값이 같다는 뜻입니다. 즉 두 칸의 배율이 같습니다. 이 문항은 등차 조건 하나, 등비 조건 하나가 각각 따로 주어져 있으므로 순서대로 하나씩 처리하면 됩니다.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
등차중항: 세 수 a, b, c가 이 순서대로 등차수열이면 2b=a+c, 즉 b=a+c2입니다. 가운데 항은 양 끝 두 수의 평균이라고 외워 두면 실수하지 않습니다.
등비중항: 세 수 a, b, c가 이 순서대로 등비수열이면 b2=ac입니다. 가운데 항을 제곱한 것이 양 끝 두 수의 곱과 같습니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
먼저 −1, x, 7에 등차중항을 써서 x의 값을 구하세요. 이때 −1을 더한다는 점에 주의해 부호를 틀리지 않게 계산합니다.
x가 정해지면 그 값을 x, 6, y의 등비중항 식 62=xy에 대입해 y를 구하고, 마지막에 두 값을 더하면 됩니다.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ③ 15
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A등차중항으로 x 구하기
세 수 −1, x, 7이 이 순서대로 등차수열을 이루므로 x=(−1)+72=3입니다. 양 끝 두 수의 평균이 곧 가운데 항이므로 한 줄로 끝납니다.
STEP B등비중항으로 y 구하고 합 구하기
세 수 x, 6, y가 이 순서대로 등비수열을 이루므로 62=xy입니다. x=3을 넣으면 36=3y에서 y=12이고, 따라서 x+y=3+12=15이므로 정답은 ③입니다.
1등급 다른 풀이 · 공차와 공비로 직접 세워 보기
중항 공식을 외우지 않았더라도 정의만으로 풀 수 있습니다. 등차수열의 공차를 d라 하면 x=−1+d, 7=−1+2d이므로 2d=8에서 d=4, 따라서 x=−1+4=3입니다.
등비수열의 공비를 r라 하면 6=xr=3r에서 r=2이고, y=6r=12입니다. 결과는 같지만 이 방법은 공차·공비가 문제에서 추가로 요구될 때 그대로 이어 쓸 수 있다는 장점이 있으므로, 두 방법을 모두 손에 익혀 두면 좋습니다.
실수를 줄이는 전략
- 등차는 ‘더해서 2로 나누기’, 등비는 ‘제곱해서 곱과 비교하기’입니다. 등비인데 2×6=x+y처럼 등차 공식을 잘못 쓰는 실수가 가장 많습니다.
- (−1)+7을 계산할 때 부호를 놓쳐 8 대신 6이나 −6으로 쓰지 않도록 괄호를 그대로 적고 계산하세요.
- 등비중항은 b2=ac이지 b=ac가 아닙니다. 62=36을 반드시 먼저 계산해 두세요.
- 구한 값은 x나 y 하나가 아니라 x+y입니다. x=3에서 멈추면 선택지 ①과 같은 오답으로 이어집니다. 마지막에 무엇을 묻는지 다시 읽는 습관을 들이세요.
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