빈출 유형
지수법칙
곱셈공식의 변형
출제의도
이 문항은 a+a−1의 값만 주어졌을 때 a를 직접 구하지 않고 a1/3+a−1/3의 값을 찾아낼 수 있는지를 확인합니다. a+a−1=52를 만족하는 a는 복잡한 무리수라서, a를 구해서 대입하는 방법은 사실상 불가능합니다.
핵심은 지수 1/3을 세 번 곱하면 1이 된다는 관찰입니다. 그래서 구하는 식을 세제곱하면 주어진 식 a+a−1이 저절로 나타납니다. 중학교·고1에서 배운 곱셈공식 (x+y)3=x3+y3+3xy(x+y)를 지수에 그대로 적용하는, 수능에서 매년 반복되는 유형입니다.
단계별 힌트
주어진 식의 지수는 1과 −1이고, 구하는 식의 지수는 1/3과 −1/3입니다. 두 식의 지수가 몇 배 차이인지 먼저 비교해 보세요.
1/3을 1로 만들려면 3을 곱해야 합니다. 즉 구하는 식을 제곱이 아니라 ‘세제곱’하면 주어진 식과 연결될 가능성이 보입니다.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
곱셈공식 (x+y)3=x3+y3+3xy(x+y)를 사용합니다. x=a1/3, y=a−1/3으로 두면 x3=a, y3=a−1이고, 지수법칙에 의해 xy=a1/3×a−1/3=a0=1입니다.
곱 xy가 1이 된다는 점이 이 문항을 깔끔하게 만들어 주는 열쇠입니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
구하는 값을 한 문자로 두고 세제곱한 식을 정리하면 그 문자에 대한 삼차방정식이 나옵니다. 상수항을 보고 인수정리로 근 하나를 찾아 인수분해한 뒤, 나머지 이차식이 실근을 갖는지 판별식으로 확인하세요.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ④ 4
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A구하는 식을 세제곱해 주어진 식 끌어내기
a1/3+a−1/3=x로 두고 양변을 세제곱하면 x3=a+a−1+3·a1/3·a−1/3·(a1/3+a−1/3)입니다. a1/3·a−1/3=1이므로 x3=52+3x가 됩니다.
STEP B삼차방정식을 인수분해해 실수인 값 고르기
x3−3x−52=0에 x=4를 대입하면 64−12−52=0이므로 (x−4)(x2+4x+13)=0으로 인수분해됩니다. x2+4x+13=0은 판별식이 16−52<0이라 실근이 없고, x는 양수의 합이므로 실수입니다. 따라서 x=4이고 정답은 ④입니다.
1등급 다른 풀이 · 범위와 증가를 이용해 선택지 대입하기
a>0이므로 a1/3과 a−1/3은 모두 양수이고, 두 수의 곱이 1이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의해 x=a1/3+a−1/3≥2입니다. 그런데 x≥2인 범위에서 x3−3x=x(x2−3)은 x도 커지고 x2−3도 양수로 커지므로 계속 증가합니다. 즉 x3−3x=52를 만족하는 x는 딱 하나뿐입니다.
해가 하나뿐이라는 것을 알았으니 선택지를 대입하면 끝납니다. x=4를 넣으면 64−12=52로 성립하므로 답은 4입니다. 인수분해 과정 없이 ‘해가 유일함’을 먼저 확인하고 대입하는 방식은 시간이 부족한 실전에서 특히 유용합니다.
실수를 줄이는 전략
- (x+y)3을 x3+y3으로만 쓰고 3xy(x+y)를 빠뜨리는 실수가 가장 흔합니다. 이 항을 빠뜨리면 x3=52가 되어 선택지에 없는 값이 나오니, 곱셈공식을 적을 때 항의 개수부터 확인하세요.
- 습관적으로 제곱부터 하면 a2/3+2+a−2/3이 나와 a+a−1과 연결되지 않습니다. 지수의 배수 관계(1/3의 3배는 1)를 먼저 보고 몇 제곱할지 정하세요.
- a1/3×a−1/3은 지수끼리 더해 a0=1이 됩니다. 지수끼리 곱해 a−1/9로 쓰지 않도록 지수법칙을 정확히 적용하세요.
- 삼차방정식을 풀었다면 나머지 이차식이 실근을 갖는지 반드시 판별식으로 확인해야 답이 하나로 확정됩니다.
엄선된 풀이 영상
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