기본 핵심
실수인 n제곱근의 개수
n의 홀짝 판별
출제의도
이 문항은 “실수 x의 n제곱근 중 실수인 것은 몇 개인가?”라는 질문에 n의 홀짝과 x의 부호만 보고 바로 답할 수 있는지를 확인합니다. 새로운 기호 fn(x)가 등장해 낯설어 보이지만, 결국 교과서의 ‘실수인 n제곱근의 개수’ 표를 그대로 옮겨 놓은 것입니다.
핵심 함정은 두 번째 항 fn+1(2)입니다. 아래 첨자가 n이 아니라 n+1이므로, n이 홀수이면 n+1은 짝수가 되어 홀짝이 뒤바뀝니다. 이 뒤바뀜을 정확히 처리해야 조건을 만족하는 n을 올바르게 골라낼 수 있습니다.
단계별 힌트
실수 x의 n제곱근 중 실수인 것의 개수는 n이 홀수인지 짝수인지, 그리고 x가 양수인지 음수인지에 따라 결정됩니다.
n이 홀수이면 x의 부호와 상관없이 실수인 n제곱근은 항상 1개입니다. n이 짝수이면 x가 양수일 때 2개, x가 0일 때 1개, x가 음수일 때 0개입니다. 먼저 이 표를 머릿속에 정리해 두세요.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
fn(−3)은 음수 −3의 n제곱근을 묻고 있으므로, n이 짝수이면 0, n이 홀수이면 1입니다.
fn+1(2)는 양수 2의 (n+1)제곱근을 묻고 있습니다. 여기서는 n이 아니라 n+1의 홀짝을 따져야 합니다. n이 짝수이면 n+1은 홀수, n이 홀수이면 n+1은 짝수라는 점에 주의하세요.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
n이 짝수인 경우와 홀수인 경우로 나누어 두 값을 더해 보세요. 합이 3이 되는 경우를 찾았다면, 2 이상 10 이하에서 그 조건을 만족하는 자연수 n을 모두 적고 더하면 됩니다.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ④ 24
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A두 값을 n의 홀짝으로 나누어 정리하기
−3은 음수이므로 fn(−3)은 n이 짝수일 때 0, 홀수일 때 1입니다. 2는 양수이므로 fn+1(2)는 n+1이 짝수일 때, 즉 n이 홀수일 때 2이고, n+1이 홀수일 때, 즉 n이 짝수일 때 1입니다.
STEP B합이 3이 되는 경우 찾기
n이 짝수이면 0+1=1, n이 홀수이면 1+2=3입니다. 따라서 조건을 만족하는 것은 n이 홀수일 때뿐이고, 2 이상 10 이하의 홀수는 3, 5, 7, 9입니다. 그 합은 3+5+7+9=24이므로 정답은 ④입니다.
1등급 다른 풀이 · 그래프의 교점 개수로 보기
x의 n제곱근 중 실수인 것의 개수는 곡선 y=tn과 직선 y=x의 교점 개수와 같습니다. n이 짝수이면 y=tn은 y=t2처럼 아래로 볼록한 U자 모양이라 직선 y=−3과는 만나지 않고 직선 y=2와는 두 점에서 만납니다. n이 홀수이면 y=tn은 y=t3처럼 계속 증가하므로 어떤 가로선과도 딱 한 점에서 만납니다.
이 그림을 떠올리면 표를 외우지 않아도 fn(−3)과 fn+1(2)의 값을 즉시 판단할 수 있습니다. 합이 3이려면 1+2 조합, 즉 ‘앞은 홀수 곡선, 뒤는 짝수 곡선’이어야 하므로 n은 홀수입니다. 개수 문제를 그래프로 바꿔 보는 습관은 지수함수·로그함수 단원에서도 그대로 쓰입니다.
실수를 줄이는 전략
- fn+1(2)에서는 n이 아니라 n+1의 홀짝을 판단해야 합니다. 첨자를 보고 “지금 몇 제곱근인가?”를 한 번 더 소리 내어 확인하세요.
- n제곱근은 복소수 범위에서 n개이지만, 이 문항은 ‘실수인 것’의 개수만 묻습니다. 복소수 근까지 세지 않도록 조건을 밑줄 쳐 두세요.
- 선택지 ⑤ 30은 2+4+6+8+10, 즉 홀짝을 거꾸로 판단한 학생을 겨냥한 값입니다. 답이 짝수 합으로 나왔다면 fn+1(2)의 첨자 처리를 다시 점검하세요.
- n의 범위가 2 이상이므로 홀수 1은 포함되지 않습니다. 범위의 양 끝값을 마지막에 반드시 확인하세요.
엄선된 풀이 영상
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