TOUGH
2020년 03월 고2 학력평가 18번
점과 직선 사이의 거리
삼각형의 무게중심
빈칸 추론
출제의도
이 문항은 풀이 과정이 이미 주어지고 (가), (나), (다) 세 칸을 채우는 빈칸 추론형입니다. 겉보기에는 친절해 보이지만, 세 칸이 각각 다른 능력을 묻습니다. (가)는 무게중심의 성질 BG : GM = 2 : 1을 ‘점과 직선 사이의 거리’라는 길이 비로 옮기는 힘, (나)는 점과 직선 사이의 거리 공식을 문자 m 상태로 정확히 세우는 힘, (다)는 두 개의 근 중 하나를 조건으로 걸러내는 힘입니다.
TOUGH가 붙은 진짜 이유는 마지막 (다)입니다. 이차방정식을 풀면 m = 1/7과 m = 1이 나란히 나오는데, 문제는 ‘직선 OB의 기울기가 직선 OA의 기울기보다 크다’는 한 줄만 던져줍니다. 이 조건을 쓰려면 무게중심 G는 항상 두 직선 OA와 OB 사이에 놓인다는 사실을 스스로 떠올려야 합니다. 여기서 (직선 OA의 기울기) < (직선 OG의 기울기) 라는 부등식이 나오고, 비로소 두 값 중 하나가 지워집니다. 계산은 다 해놓고 마지막 선택에서 무너지는 전형적인 문항입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
먼저 (가)부터 해결하세요. 두 점 B와 G에서 직선 OA에 각각 수선의 발을 내려보면, 그 두 수선의 길이가 바로 ‘점 B와 직선 OA 사이의 거리’와 ‘점 G와 직선 OA 사이의 거리’입니다.
무게중심이므로 BG : GM = 2 : 1, 즉 BM : GM = 3 : 1입니다. 두 수선을 포함한 삼각형이 서로 닮음이므로 거리도 3 : 1이 됩니다. 6√2가 3에 대응한다면 1에 대응하는 값은 무엇일까요? (가)가 나옵니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
직선 OA는 원점을 지나므로 기울기를 m이라 하면 y = mx, 즉 mx − y = 0입니다. 여기에 G(8, 4)를 점과 직선 사이의 거리 공식에 넣으면 분자가 그대로 (나)가 됩니다. 이 값이 (가)와 같다고 놓고 양변을 제곱하면 m에 대한 이차방정식이 만들어집니다. 절댓값은 벗기지 말고 곧바로 제곱하는 것이 안전합니다.
근이 두 개 나오면 마지막 관문입니다. 무게중심 G는 삼각형 내부, 즉 반직선 OA와 OB 사이에 있으므로 (OA의 기울기) < (OG의 기울기) < (OB의 기울기)가 성립합니다. OG의 기울기는 G(8, 4)로부터 바로 계산되니, 이 부등식을 만족하는 m만 남기세요. 마지막으로 p, q가 각각 (가), (다)이고 f(m)이 (나)라는 대응만 헷갈리지 않으면 끝입니다.
정답 확인
정답 ② f(q)p² = 514
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A삼각형의 닮음으로 (가) 구하기
선분 OA의 중점을 M, 두 점 B와 G에서 선분 OA에 내린 수선의 발을 각각 D, E라 합니다. 점 G가 삼각형 OAB의 무게중심이므로 BG : GM = 2 : 1이고, 따라서 BM : GM = 3 : 1입니다.
∠BDM = ∠GEM = 90°이고 ∠BMO는 공통이므로 삼각형 MBD와 삼각형 MGE는 AA 닮음이며 닮음비는 BM : GM = 3 : 1입니다. 점 B와 직선 OA 사이의 거리 BD가 6√2이므로 점 G와 직선 OA 사이의 거리는 GE = (1/3) × 6√2 = 2√2. 즉 (가) = 2√2입니다.
STEP B점과 직선 사이의 거리로 (나)와 m 구하기
직선 OA의 기울기를 m이라 하면 직선 OA의 방정식은 y = mx, 즉 mx − y = 0입니다. 점 G(8, 4)와 이 직선 사이의 거리는
|m × 8 + (−1) × 4| ÷ √(m² + (−1)²) = |8m − 4| ÷ √(m² + 1)
이고 이 값이 (가) = 2√2와 같습니다. 따라서 (나) = |8m − 4|이며, |8m − 4| = 2√2 × √(m² + 1)입니다.
양변 제곱 — 64m² − 64m + 16 = 8m² + 8, 즉 56m² − 64m + 8 = 0에서 7m² − 8m + 1 = 0
인수분해 — (7m − 1)(m − 1) = 0이므로 m = 1/7 또는 m = 1
STEP C조건으로 (다)를 확정하고 f(q)/p² 계산
두 점 O(0, 0), G(8, 4)를 지나는 직선 OG의 기울기는 (4 − 0)/(8 − 0) = 1/2입니다. 제1사분면의 두 점 A, B에 대하여 무게중심 G는 두 반직선 OA, OB 사이에 있으므로 (직선 OA의 기울기) < (직선 OG의 기울기) < (직선 OB의 기울기), 즉 m < 1/2이어야 합니다. 따라서 m = 1/7, 즉 (다) = 1/7입니다.
이제 p = (가) = 2√2, q = (다) = 1/7, f(m) = (나) = |8m − 4|이므로
f(q)/p² = f(1/7) ÷ (2√2)² = |8 × (1/7) − 4| ÷ 8 = (20/7) ÷ 8 = 5/14
따라서 정답은 ②입니다.
1등급 다른 풀이 · 넓이비로 (가) 읽기
(가)를 닮음 대신 넓이로 읽으면 수선의 발을 그릴 필요조차 없습니다.
무게중심은 삼각형을 넓이가 같은 세 조각으로 나눕니다. 따라서 삼각형 OAG의 넓이는 삼각형 OAB 넓이의 1/3입니다. 그런데 두 삼각형은 밑변 OA를 공통으로 쓰므로, 넓이비가 1 : 3이면 높이비도 곧바로 1 : 3입니다. 여기서 높이란 각각 ‘점 G와 직선 OA 사이의 거리’, ‘점 B와 직선 OA 사이의 거리’이므로 (가) = 6√2 × (1/3) = 2√2가 한 줄에 나옵니다.
같은 시각을 (다)에도 쓸 수 있습니다. G는 선분 BM 위의 점이고 M은 선분 OA 위에 있으므로, G는 각 AOB의 내부에 놓입니다. 원점을 지나는 세 직선 OA, OG, OB의 기울기가 각의 순서대로 커지므로 m < 1/2이라는 부등식이 그림 한 장으로 확정됩니다.
실수를 줄이는 전략
- 거리 조건은 절댓값을 벗기지 말고 곧바로 제곱하세요. |8m − 4|를 8m − 4로 성급히 바꾸면 부호에 따라 근 하나를 잃습니다.
- 이차방정식의 두 근 중 하나를 버릴 때는 반드시 근거를 문장으로 남기세요. 이 문항에서 근거는 오직 ‘직선 OB의 기울기가 직선 OA의 기울기보다 크다’는 조건 한 줄이며, 이를 OG의 기울기 1/2과 비교하는 형태로 바꿔 써야 쓸 수 있습니다.
- 문자 대응을 마지막에 한 번 더 확인하세요. p는 (가), q는 (나)가 아니라 (다), f(m)은 (나)입니다. 빈칸 추론형에서 가장 자주 나오는 실수 지점입니다.
- f(q)는 f(m)의 m 자리에 q를 대입한 값입니다. |8m − 4|에 m = 1/7을 넣어 |8/7 − 4| = 20/7이 되며, 여기서 8/7 − 4를 계산하다 통분을 놓치면 값이 어긋납니다.
- 분모는 p가 아니라 p²입니다. (2√2)² = 8이며, 2√2를 그대로 나누면 답이 무리수가 되어 선택지에 없습니다. 선택지가 모두 유리수라는 점 자체가 검산 신호입니다.