최다빈출 · 왕중요
TOUGH
평행한 두 직선 사이의 거리
점과 직선 사이의 거리
삼각형의 넓이
출제의도
이 문항은 ‘점과 직선 사이의 거리’ 공식을 두 번, 서로 다른 방향으로 쓰게 만드는 문제입니다. 한 번은 평행한 두 직선 사이의 거리를 구하기 위해 정방향으로, 다른 한 번은 거리 값을 이미 알고 있는 상태에서 직선의 방정식을 역으로 찾기 위해 사용합니다.
최다빈출·왕중요 표시가 붙은 이유는 삼각형의 넓이가 두 공식을 이어붙이는 다리 역할을 하기 때문입니다. 넓이 20은 그 자체로 묻는 대상이 아니라, 밑변 PQ에서 높이 OH로 넘어가는 통로입니다. 밑변을 구하는 것이 1단계, 넓이로 높이를 얻는 것이 2단계, 높이로 직선을 되찾는 것이 3단계이며, 이 세 단계의 연결 구조를 그대로 외워둘 만한 표준 문항입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
선분 PQ는 두 직선 y=2x+6, y=2x−4에 각각 수직입니다. 평행한 두 직선에 동시에 수직인 선분의 길이는 곧 두 직선 사이의 거리와 같습니다. 즉 P, Q의 좌표를 하나도 구하지 않고도 PQ의 길이를 먼저 확정할 수 있습니다.
PQ를 밑변으로 보면 삼각형 OPQ의 높이는 원점 O에서 직선 PQ에 내린 수선의 길이입니다. 넓이가 주어져 있으니 이 높이는 곧바로 계산됩니다. 그리고 그 높이는 다시 원점과 직선 PQ 사이의 거리라는 조건으로 되돌아옵니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
평행선 사이의 거리는 한 직선 위의 편한 점 하나를 잡아 다른 직선까지의 거리를 재면 됩니다. y=2x+6 위의 점 (0, 6)과 직선 2x−y−4=0 사이의 거리를 계산해 보세요. 이것이 PQ입니다.
다음으로 넓이 식 12×PQ×OH=20에서 OH를 구합니다. 마지막으로 PQ는 기울기 2인 직선과 수직이므로 기울기가 −12입니다. y=−12x+k로 놓고 원점과의 거리가 OH와 같다는 식을 세우면 k가 결정됩니다. 이때 P, Q가 제1사분면 위의 점이라는 단서가 k의 부호를 고르는 결정타입니다.
정답 확인
정답 a+b = 3
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A선분 PQ의 길이 = 두 평행선 사이의 거리
직선 y=2x+6 위의 점 (0, 6)과 직선 2x−y−4=0 사이의 거리를 구하면
PQ = |2×0−6−4| ÷ √(2²+(−1)²) = 10 ÷ √5 = 2√5
평행선 거리 공식으로 바로 써도 같습니다. 2x−y+6=0과 2x−y−4=0에 대해 |6−(−4)|÷√5 = 10÷√5 = 2√5.
STEP B넓이 조건으로 높이 OH 구하기
원점 O에서 선분 PQ에 내린 수선의 발을 H라 하면 삼각형 OPQ의 넓이가 20이므로
12×2√5×OH = 20 ⟹ OH = 4√5
STEP C직선 PQ의 방정식 되찾기
PQ는 기울기 2인 직선과 수직이므로 기울기는 −12입니다. y=−12x+k, 즉 x+2y−2k=0으로 놓으면 원점과의 거리가 OH이므로
|−2k| ÷ √(1²+2²) = 4√5 ⟹ 2|k| = 20 ⟹ |k| = 10
두 점 P, Q가 제1사분면 위의 점이므로 k>0, 따라서 k=10이고 직선 PQ는 x+2y−20=0입니다. 주어진 꼴 ax+by−20=0과 비교하면 a=1, b=2이므로 a+b=3.
1등급 다른 풀이 · 주어진 꼴을 그대로 미지수로 쓰기
문제가 굳이 ax+by−20=0이라는 꼴을 제시한 데에는 이유가 있습니다. 상수항이 −20으로 고정되어 있으므로, 원점과 이 직선 사이의 거리는 a, b만으로 곧바로 표현됩니다.
|−20| ÷ √(a²+b²) = 4√5 ⟹ √(a²+b²) = √5 ⟹ a²+b² = 5
여기에 기울기 조건을 더합니다. 직선 ax+by−20=0의 기울기는 −ab이고 이것이 −12이므로 b=2a입니다. 대입하면 a²+4a²=5, 즉 a²=1이므로 (a, b)=(1, 2) 또는 (−1, −2)입니다. P, Q가 제1사분면 위에 있으려면 직선이 x절편·y절편 모두 양수여야 하므로 a=1, b=2. 미지수 k를 새로 도입하지 않고 문제가 준 문자를 그대로 쓰는 접근입니다.
실수를 줄이는 전략
- 평행선 사이의 거리를 잴 때는 두 직선의 x, y 계수를 반드시 똑같이 맞춘 뒤 상수항 차이를 씁니다. 2x−y+6=0과 4x−2y−8=0처럼 배수가 다른 상태로 |6−(−8)|을 계산하면 값이 틀립니다.
- PQ를 구하겠다고 P, Q의 좌표를 미지수로 잡고 연립하지 마세요. ‘두 직선에 모두 수직’이라는 조건이 곧 평행선 거리라는 사실을 놓치면 계산이 몇 배로 늘어납니다.
- 넓이 20은 답이 아니라 통로입니다. 밑변(PQ)을 먼저 확보해야 높이(OH)가 나오는 순서를 지키세요. 반대로 접근하면 미지수가 둘 남습니다.
- 절댓값을 벗길 때 |k|=10이면 k=±10입니다. 사분면 조건을 읽지 않고 k=10만 취하면 우연히 맞는 것일 뿐이고, 부호가 반대인 유사 문항에서 그대로 틀립니다.
- 마지막에 a, b를 대응시킬 때 주어진 꼴과 계수를 정확히 맞춰야 합니다. 2x+4y−40=0도 같은 직선이지만 상수항이 −20이어야 하므로 a=1, b=2가 유일한 답입니다.
엄선된 풀이 영상
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