TOUGH
2021년 09월 고1 학력평가 19번
점과 직선 사이의 거리
삼각형의 넓이
닮음비와 넓이비
내분점
출제의도
세 점 P, Q, R이 모두 같은 직선 위에 있다는 설정이 이 문항의 뼈대입니다. 세 점이 한 직선 위에 있으므로 삼각형 OPR에서 밑변을 PR로 잡으면 높이는 원점과 그 직선 사이의 거리로 고정됩니다. 즉 넓이 조건이 곧 선분 PR의 길이 조건으로 번역됩니다. 이 번역을 못 하면 좌표를 붙들고 헤매게 되고, 하고 나면 조건 (가)는 일차방정식 한 줄로 끝납니다.
조건 (나)는 원의 넓이비를 길이비로 되돌리는 문제입니다. 두 원은 지름이 PQ, QR이므로 서로 닮음이고, 넓이비 1:4는 닮음비 1:2, 즉 PQ_QR=1:2를 뜻합니다. Q가 선분 PR을 1:2로 내분하는 점이라는 사실이 여기서 나옵니다. 넓이비를 그대로 길이비로 쓰거나, 1:2를 PQ:PR로 착각하는 두 지점이 이 문항의 실질적인 난이도입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
삼각형 OPR의 세 꼭짓점 중 P와 R이 같은 직선 y=x−2 위에 있습니다. 밑변을 PR로 잡으면 높이는 무엇이 될지 생각해 보세요. 원점에서 직선 y=x−2까지의 거리이고, 이 값은 a, b와 무관한 상수입니다.
조건 (나)의 두 원은 지름이 각각 PQ, QR인 원이므로 서로 닮은 도형입니다. 넓이의 비가 1:4라는 정보를 지름의 비로 되돌리면, 조건 (나)는 결국 점 Q가 선분 PR을 어떤 비로 나누는지를 알려주는 조건이 됩니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
먼저 원점과 직선 x−y−2=0 사이의 거리 d를 구하세요. 분자가 |−2|, 분모가 √2이므로 d=√2로 고정입니다. 또 P(−1, −3), R(b, b−2)의 거리는 x좌표 차와 y좌표 차가 같으므로 PR=√2·(b+1) 꼴로 정리됩니다(b>−1).
넓이 = ½ × PR × d에 두 식을 넣으면 √2가 서로 곱해져 사라지면서 매우 간단한 일차식이 남습니다. 여기서 b가 바로 나옵니다.
다음으로 넓이비 1:4 → 닮음비(지름비) 1:2 → PQ_QR=1:2입니다. 주의할 점은 이때 PQ:PR = 1:3이라는 것입니다. PR의 길이를 이미 알고 있으니 PQ의 길이가 정해지고, Q는 PR을 1:2로 내분하는 점이므로 내분점 공식으로 a를 구하면 됩니다.
정답 확인
정답 ⑤ a + b = 4√2 − 2
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A조건 (가)로 점 R의 좌표 구하기
P(−1, −3)과 R(b, b−2)에 대하여 x좌표의 차와 y좌표의 차가 모두 b+1이므로 PR = √{2(b+1)²}입니다. 한편 원점 O와 직선 y=x−2, 즉 x−y−2=0 사이의 거리 d는
d = |−2|√(1²+(−1)²) = 2√2 = √2
조건 (가)에 의하여 삼각형 OPR의 넓이는 ½ × PR × d = 3√2이므로 PR = 6입니다. 즉 √2(b+1) = 6에서 b+1 = 3√2이고, b > −1이므로 b = 3√2 − 1, 점 R의 좌표는 R(3√2−1, 3√2−3)입니다.
STEP B조건 (나)로 점 Q의 좌표 구하기
두 원 C₁, C₂는 지름이 각각 PQ, QR인 원이므로 서로 닮음입니다. 닮음비가 m:n이면 넓이의 비는 m²:n²이므로, 넓이비 1:4에서 닮음비는 1:2, 즉 PQ:QR = 1:2입니다.
주의 — PQ:QR = 1:2이므로 PQ:PR = 1:3입니다. 따라서 PQ = ⅓ × PR = ⅓ × 6 = 2입니다.
점 Q는 선분 PR을 1:2로 내분하는 점이므로 내분점 공식에 P(−1, −3), R(3√2−1, 3√2−3)을 대입하면
Q = ( 1×(3√2−1) + 2×(−1)1+2 , 1×(3√2−3) + 2×(−3)1+2 ) = Q(√2−1, √2−3)
따라서 a = √2 − 1입니다.
STEP Ca + b의 값
a = √2−1, b = 3√2−1이므로 a + b = (√2−1) + (3√2−1) = 4√2 − 2입니다.
1등급 다른 풀이 · 기울기 1을 √2 배율로 읽기
직선 y=x−2의 기울기가 1이라는 사실을 배율로 바꿔 쓰면 계산이 눈에 띄게 줄어듭니다. 기울기가 1인 직선 위의 두 점은 x좌표 차와 y좌표 차가 같으므로, 두 점 사이의 거리는 언제나
(선분의 길이) = √2 × (x좌표의 차)
가 됩니다. 교재의 다른풀이가 직각이등변삼각형 PSR, PTQ를 그려 PS:PR = 1:√2를 얻는 것도 결국 같은 이야기입니다.
이 배율을 쓰면 STEP A는 PR=6에서 x좌표 차 = 6/√2 = 3√2, 즉 b−(−1)=3√2이므로 b = 3√2−1로 곧바로 끝납니다. STEP B도 PQ=2에서 x좌표 차 = 2/√2 = √2, 즉 a−(−1)=√2이므로 a = √2−1이 되어 내분점 공식을 쓰지 않고도 답이 나옵니다.
결국 a+b = (√2−1)+(3√2−1) = 4√2−2로 같습니다. 좌표평면 위에서 기울기가 ±1인 직선이 등장하면 ‘길이 ↔ x좌표 차’를 √2로 오가는 이 변환을 먼저 떠올리는 것이 1등급의 감각입니다.
실수를 줄이는 전략
- 넓이비 1:4를 그대로 길이비로 쓰면 안 됩니다. 닮음비 m:n → 넓이비 m²:n²이므로, 넓이비 1:4에서 길이비는 1:2입니다. 이 한 단계를 건너뛰면 이후 모든 값이 틀립니다.
- PQ:QR = 1:2와 PQ:PR = 1:3을 혼동하지 마세요. 앞은 두 조각의 비, 뒤는 조각과 전체의 비입니다. PQ=3으로 잡으면 a가 통째로 어긋납니다.
- 삼각형의 넓이를 잡을 때 밑변을 OP나 OR로 잡으면 높이가 미지수에 얽혀 복잡해집니다. 같은 직선 위의 두 점을 밑변으로 잡아 높이를 상수 √2로 고정하는 것이 이 문항의 핵심 선택입니다.
- √{2(b+1)²}를 √2(b+1)로 벗길 때 절댓값이 필요합니다. 여기서는 −1<a<b라는 조건 덕분에 b+1>0이므로 양수 근만 살아남고, b=−3√2−1은 버려집니다. 조건 −1<a<b는 장식이 아니라 근을 걸러내는 장치입니다.
- 내분점 공식에서 비의 순서를 뒤집지 마세요. Q가 PR을 1:2로 내분하므로 분자는 (1×R좌표 + 2×P좌표)입니다. 2:1로 바꿔 쓰면 Q가 R쪽으로 치우쳐 a가 달라집니다.
- 마지막에 부호를 확인하세요. 4√2−2와 4√2+2는 선택지에 나란히 배치되어 있습니다(⑤와 ①).