행복한 일등급문제
2023년 09월 고1 학력평가 19번
원과 직선
점과 직선 사이의 거리
원점 대칭
출제의도
이 문항은 원의 현, 중심에서 현까지의 거리, 점과 직선 사이의 거리라는 세 가지 도구가 하나로 연결되는 구조를 묻습니다. AB=2√5라는 현의 길이 조건이 곧 원점과 직선 l 사이의 거리 조건으로 번역되고, 그 번역이 끝나는 순간 미지수 k가 결정됩니다. 계산량은 많지 않지만 조건을 어느 언어로 바꿔 읽느냐가 속도를 완전히 갈라놓는 문제입니다.
일등급 문제로 배치된 이유는 조건을 읽어내는 단계가 겹겹이라는 점 때문입니다. 제2사분면·제3사분면이라는 조건으로 A와 B를 구별해야 하고, ‘직선 OA와 원이 만나는 점 중 A가 아닌 점’이라는 표현을 원점 대칭으로 읽어야 하며, ‘x축과 평행한 직선’이라는 문구에서 D의 y좌표가 C와 같다는 사실까지 끌어내야 합니다. 한 군데만 헐겁게 읽어도 답이 통째로 달라집니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
직선 l의 기울기가 2이므로 y절편을 k로 두면 l: y=2x+k, 즉 2x−y+k=0입니다. 미지수가 k 하나뿐이니 조건 AB=2√5로 k를 결정하면 됩니다.
현의 길이 조건은 그대로 쓰지 말고 중심에서 현에 내린 수선으로 바꾸세요. 원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 수직이등분하므로, 수선의 발을 H라 하면 AH=√5이고 OA=√10입니다. 직각삼각형 AHO에서 OH의 길이를 구할 수 있고, 그 OH가 곧 원점과 직선 l 사이의 거리입니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
OH=√5이므로 점과 직선 사이의 거리 공식에서 |k|/√(2²+(−1)²)=√5, 즉 |k|=5입니다. 그림에서 l의 y절편이 양수이므로 k=5로 확정됩니다. 이제 y=2x+5를 원의 방정식에 대입하면 x에 대한 이차방정식이 나오고, 두 근 중 제2사분면 조건으로 A를, 제3사분면 조건으로 B를 골라야 합니다.
점 C는 직선 OA와 원의 교점 중 A가 아닌 점입니다. 원의 중심이 원점이므로 선분 AC는 지름이고, 따라서 C는 A를 원점에 대해 대칭이동한 점입니다. 직선 OA의 방정식을 세워 다시 연립하는 것은 시간 낭비입니다. 마지막으로 D는 C를 지나고 x축에 평행한 직선 위의 점이므로 y좌표가 C와 같습니다.
정답 확인
정답 ③ a+b = −7
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A현의 길이로 k 결정하기
l: y=2x+k, 즉 2x−y+k=0입니다. 원점 O에서 l에 내린 수선의 발을 H라 하면 AH=12AB=√5이고 반지름 OA=√10이므로, 직각삼각형 AHO에서 OH=√(10−5)=√5입니다. OH는 원점과 직선 l 사이의 거리이므로 |k|/√5=√5에서 |k|=5이고, 그림에서 y절편이 양수이므로 k=5입니다.
STEP B세 점 A, B, C의 좌표 구하기
y=2x+5를 x²+y²=10에 대입하면 x²+(2x+5)²=10, 정리하면 x²+4x+3=0, 즉 (x+1)(x+3)=0이므로 x=−1 또는 x=−3입니다.
( i ) 점 A — 제2사분면(x<0, y>0)이므로 x=−1, y=3에서 A(−1, 3)
( ii ) 점 B — 제3사분면(x<0, y<0)이므로 x=−3, y=−1에서 B(−3, −1)
( iii ) 점 C — 원의 중심이 원점이므로 AC는 지름, 즉 C는 A의 원점 대칭점이어서 C(1, −3)
STEP C점 D의 좌표와 a+b
C를 지나고 x축에 평행한 직선은 y=−3입니다. 이 직선과 l: y=2x+5가 만나는 점을 구하면 −3=2x+5에서 x=−4이므로 D(−4, −3)입니다. 따라서 a=−4, b=−3이고 a+b=−7입니다.
1등급 다른 풀이 · 근과 계수의 관계로 k 구하기
수선의 발을 그리지 않고도 현의 길이 조건을 처리할 수 있습니다. 기울기가 m인 직선이 곡선과 만나는 두 점의 x좌표가 x₁, x₂일 때, 두 점 사이의 거리의 제곱은 (1+m²)(x₁−x₂)²입니다.
y=2x+k를 x²+y²=10에 대입하면 5x²+4kx+k²−10=0이므로, 근과 계수의 관계에서 x₁+x₂=−4k5, x₁x₂=k²−105입니다. 따라서
AB²=(1+2²){(x₁+x₂)²−4x₁x₂}=5{16k²25−4(k²−10)5}=200−4k²5
이 값이 (2√5)²=20이므로 200−4k²=100, 즉 k²=25에서 k=5입니다. 원의 성질을 떠올리기 어려울 때도 통하는 방법이고, 원이 아닌 포물선과의 현에서도 그대로 쓸 수 있다는 장점이 있습니다.
실수를 줄이는 전략
- 현의 길이가 나오면 조건반사처럼 중심 → 현에 수선을 그으세요. (반지름)²=(현의 절반)²+(중심거리)² 이 직각삼각형 하나가 대부분의 원 문제를 끝냅니다.
- |k|=5에서 k=−5를 버리는 근거는 그림의 y절편입니다. 절댓값을 벗길 때는 반드시 부호를 결정한 근거를 한 줄 적어두세요.
- A와 B를 뒤바꾸면 답이 완전히 달라집니다. 두 근 −1과 −3 중 어느 것이 A인지는 사분면 조건으로만 정해집니다. y좌표까지 계산해 확인하세요.
- ‘직선 OA와 원이 만나는 A가 아닌 점’은 원의 중심이 원점일 때 원점 대칭점입니다. C(1, −3)을 얻는 데 연립방정식은 필요 없습니다.
- D의 좌표에서 b는 계산 대상이 아닙니다. x축에 평행한 직선 위의 점이므로 b=−3은 C에서 그대로 따라옵니다. a만 대입으로 구하면 됩니다.
엄선된 풀이 영상
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