TOUGH
최다빈출 · 왕중요 문항
직선에 대한 점의 대칭이동
수직·중점 조건
삼각형의 넓이
점과 직선 사이의 거리
출제의도
이 문항은 직선에 대한 점의 대칭이동으로 좌표를 구한 뒤, 그 결과를 좌표평면 위 삼각형의 넓이로 연결하는 2단 구조입니다. 앞 단계에서 Q의 좌표가 하나라도 틀리면 뒷 단계가 통째로 무너지므로, 중간 검산 습관이 그대로 점수로 이어집니다.
TOUGH로 분류된 이유는 뒷 단계의 넓이 계산에 정해진 길이 없기 때문입니다. 세 꼭짓점 O(0, 0), P(1, 5), Q(3, −1)은 격자점이지만 어느 변도 좌표축과 평행하지 않아, 밑변과 높이가 눈에 바로 보이지 않습니다. 큰 직사각형에서 덜어내든, 점과 직선 사이의 거리를 쓰든, 자기 손에 익은 도구를 망설임 없이 고르는 판단력이 시간을 가릅니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
대칭이동의 조건은 언제나 수직과 중점 두 개뿐입니다. 대칭축 x−3y+4=0을 y=(1/3)x+4/3로 고쳐 보면 기울기가 1/3이므로, 직선 PQ의 기울기는 −3입니다. Q(a, b)라 두고 (b−5)/(a−1)=−3에서 첫 번째 식을 얻으세요.
두 번째는 P와 Q의 중점 ((1+a)/2, (5+b)/2)가 대칭축 위에 있다는 조건입니다. 이 두 식을 연립하면 a, b가 정수로 예쁘게 떨어지므로, 계산이 지저분해진다면 어딘가에서 부호를 놓친 것입니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
Q의 좌표를 얻었다면 넓이를 구할 차례입니다. 세 점을 좌표평면에 찍어 보면 x좌표는 0부터 3까지, y좌표는 −1부터 5까지 퍼져 있습니다. 이 범위로 가로 3, 세로 6인 직사각형을 만들고, 그 안에서 삼각형이 아닌 직각삼각형 세 조각을 덜어내면 답이 나옵니다.
다른 길도 있습니다. 밑변을 선분 PQ로 잡으면 높이는 원점에서 직선 PQ까지의 거리입니다. 직선 PQ의 방정식을 구해 3x+y−8=0 꼴로 정리한 뒤 거리 공식을 쓰면, 분모의 √10이 밑변 길이와 약분되며 정수로 정리됩니다.
정답 확인
정답 ④ Q(3, −1), 삼각형 OPQ의 넓이 = 8
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A수직 조건과 중점 조건으로 점 Q의 좌표 구하기
점 Q를 Q(a, b)라 하면, 직선 PQ와 대칭축 x−3y+4=0이 수직이므로 직선 PQ의 기울기는 −3입니다.
(b−5)/(a−1) = −3 → 3a + b = 8
또한 두 점 P, Q의 중점 ((1+a)/2, (5+b)/2)가 대칭축 위의 점이므로 이를 대입하면
(1+a)/2 − 3·(5+b)/2 + 4 = 0 → a − 3b = 6
두 식을 연립하면 a=3, b=−1이므로 Q(3, −1)입니다.
STEP B직사각형에서 덜어내어 삼각형 OPQ의 넓이 구하기
P(1, 5), Q(3, −1)에서 y축에 내린 수선의 발을 P′, Q′라 하고, 직선 PP′와 점 Q를 지나며 y축에 평행한 직선의 교점을 H라 하면, 삼각형 OPQ의 넓이는 직사각형 HQQ′P′에서 세 개의 직각삼각형을 뺀 값입니다.
계산 — 6×3 − ½×5×1 − ½×3×1 − ½×2×6 = 18 − 5/2 − 3/2 − 6 = 8
STEP C점과 직선 사이의 거리로 확인하기
밑변을 선분 PQ로 잡으면 넓이는 ½ × PQ × OH입니다. 직선 PQ의 방정식은 두 점 P(1, 5), Q(3, −1)에서 기울기가 −3이므로 y=−3x+8, 즉 3x+y−8=0입니다.
원점에서 이 직선까지의 거리는 OH = 8/√10 이고, PQ = √{(1−3)²+(5+1)²} = 2√10 이므로
넓이 = ½ × 2√10 × 8/√10 = 8
서로 다른 두 방법이 같은 값을 주므로 Q의 좌표까지 함께 검산된 셈입니다.
1등급 다른 풀이 · 원점이 꼭짓점이면 한 줄로 끝난다
삼각형의 세 꼭짓점 중 하나가 원점일 때, 나머지 두 점이 (x₁, y₁), (x₂, y₂)이면 넓이는
S = ½ |x₁y₂ − x₂y₁|
입니다. 이 문항에 그대로 넣으면 ½|1·(−1) − 3·5| = ½|−1−15| = ½×16 = 8이 됩니다. 직선의 방정식도, 보조선도, 거리 공식도 필요 없이 곱셈 두 번으로 끝납니다.
이 식은 두 벡터가 만드는 평행사변형 넓이의 절반이라는 사실에서 나오며, 문제에 ‘단, O는 원점이다’라는 단서가 붙어 있다면 거의 예외 없이 이 도구를 쓰라는 신호입니다. 좌표에 음수가 섞여도 절댓값이 알아서 처리해 주기 때문에 부호 실수도 함께 줄어듭니다.
내신 연계로 한 번 더 — 점 P(2, −1)을 직선 4x+y+10=0에 대하여 대칭이동한 점 Q에 대하여 삼각형 OPQ의 넓이를 구해 보세요. 같은 절차로 Q(−6, −3)을 얻고, 위 공식에 넣으면 ½|2·(−3) − (−6)·(−1)| = ½×12 = 6입니다.
실수를 줄이는 전략
- 대칭축의 기울기를 눈으로 대충 읽지 말고 y=… 꼴로 고쳐서 확인하세요. x−3y+4=0의 기울기는 −3이 아니라 1/3이고, 따라서 PQ의 기울기가 −3입니다. 이 한 번의 착각이 가장 흔한 오답 경로입니다.
- 수직 조건과 중점 조건은 둘 다 필요합니다. 하나만 쓰면 미지수 두 개에 식 하나뿐이라 Q가 하나로 정해지지 않습니다.
- 중점을 대칭축에 대입할 때 −3을 분수 전체에 곱하는지 확인하세요. −3·(5+b)/2를 −3·5/2+b/2처럼 반쪽만 곱하는 실수가 잦습니다.
- 직사각형에서 덜어내는 방법을 쓸 때는 변의 길이를 좌표 차의 절댓값으로 잡으세요. Q의 y좌표가 −1이므로 세로는 5−(−1)=6이지 5−1=4가 아닙니다.
- Q를 구한 직후 중점이 정말 대칭축 위에 있는지 대입해 검산하세요. 중점 (2, 2)를 x−3y+4에 넣으면 2−6+4=0이므로 통과입니다. 10초짜리 검산이 뒷 단계 전체를 지켜 줍니다.
엄선된 풀이 영상
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