TOUGH
직선에 대한 직선의 대칭이동
직선에 대한 대칭이동
수직 조건
중점 조건
계수 비교
출제의도
이 문항은 직선을 직선에 대하여 대칭이동하는 표준 절차를 묻습니다. 점 하나를 옮기는 문제와 달리 옮겨야 할 대상이 도형 전체이므로, 직선 위의 임의의 점 P(a, b)를 잡아 그 대칭점 Q(x, y)와의 관계식을 세운 뒤, a와 b를 x와 y로 바꿔 원래 식에 되돌려 넣는 역치환 구조를 그대로 밟아야 합니다.
TOUGH로 분류된 이유는 이 역치환의 방향 때문입니다. 학생들은 보통 ‘대칭이동한 점의 좌표를 구한다’까지는 익숙하지만, 도형의 방정식을 구할 때는 새 좌표 (x, y)로 옛 좌표 (a, b)를 표현해 대입해야 한다는 점에서 방향 감각을 잃습니다. 여기에 수직 조건과 중점 조건이라는 두 개의 식을 동시에 다루는 부담이 더해집니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
대칭이동에서 쓸 수 있는 조건은 언제나 딱 두 개입니다. 첫째, 원래 점과 대칭점을 이은 선분이 대칭축과 수직이다. 둘째, 두 점의 중점이 대칭축 위에 있다. 이 두 문장을 좌표식으로 옮기는 것이 풀이의 전부입니다.
대칭축 x−y−2=0의 기울기는 1입니다. 따라서 P와 Q를 잇는 직선의 기울기는 −1이고, (y−b)/(x−a)=−1에서 x+y=a+b라는 깔끔한 식이 나옵니다. 여기서 좌변에 새 좌표, 우변에 옛 좌표가 모이는 모양을 눈여겨보세요.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
중점 ((a+x)/2, (b+y)/2)를 대칭축 x−y−2=0에 대입하면 두 번째 식 x−y=−a+b+4가 나옵니다. 이제 앞서 얻은 x+y=a+b와 연립하면 x와 y가 a, b로 표현됩니다.
여기서 멈추지 마세요. 우리가 필요한 것은 그 역방향, 즉 a와 b를 x와 y로 나타낸 식입니다. 그렇게 얻은 a, b를 P가 원래 직선 위에 있다는 조건 a+2b−4=0에 대입하면 대칭이동한 직선의 방정식이 완성됩니다. 마지막으로 ax+by−6=0과 상수항까지 맞춘 뒤 계수를 비교하세요.
정답 확인
정답 ② 2x+y−6=0 이므로 a+b = 3
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A두 조건으로 옛 좌표를 새 좌표로 바꾸기
직선 x+2y−4=0 위의 점을 P(a, b)라 하면 a+2b−4=0입니다. 점 P를 직선 x−y−2=0에 대하여 대칭이동한 점을 Q(x, y)라 두고 두 조건을 세웁니다.
수직 조건 — 직선 PQ와 대칭축이 수직이므로 직선 PQ의 기울기는 −1입니다. 즉 (y−b)/(x−a)=−1에서 x+y=a+b입니다.
중점 조건 — 중점 ((a+x)/2, (b+y)/2)가 대칭축 위에 있으므로 (a+x)/2−(b+y)/2−2=0, 즉 x−y=−a+b+4입니다.
두 식을 연립하면 x=b+2, y=a−2이고, 이를 뒤집으면 a=y+2, b=x−2입니다.
STEP B원래 직선의 식에 대입하여 대칭이동한 직선 구하기
a+2b−4=0에 a=y+2, b=x−2를 대입하면
(y+2) + 2(x−2) − 4 = 0 → 2x + y − 6 = 0
STEP C계수를 비교하여 a+b의 값 구하기
2x+y−6=0이 ax+by−6=0과 일치하므로 a=2, b=1입니다. 따라서 a+b=2+1=3입니다.
1등급 다른 풀이 · 기울기가 ±1인 대칭축은 ‘치환 한 줄’
대칭축의 기울기가 1 또는 −1이면 위의 연립 과정을 통째로 건너뛸 수 있습니다. 직선 x−y−2=0은 y=x−2이고, 이 직선에 대한 대칭이동은 y=x에 대한 대칭이동을 위아래로 평행이동한 것과 같습니다. 결과적으로 x 대신 y+2, y 대신 x−2를 대입하면 됩니다.
x+2y−4=0에 그대로 넣으면 (y+2)+2(x−2)−4=0, 즉 2x+y−6=0이 한 줄에 나옵니다. y=x에 대한 대칭이 x와 y를 맞바꾸는 것이라는 사실만 기억하면, 축이 y=x+c 꼴일 때는 항상 이런 치환이 가능합니다.
또 하나의 관점은 고정점을 이용하는 것입니다. 두 직선 x+2y−4=0과 x−y−2=0의 교점 Q(8/3, 2/3)는 대칭축 위의 점이므로 대칭이동해도 제자리에 남습니다. 여기에 원래 직선 위의 편한 점 P(0, 2) 하나만 대칭이동해 P₁(4, −2)를 얻으면, 구하는 직선은 두 점 Q와 P₁을 지나는 직선입니다. 기울기가 −2이므로 y=−2x+6, 즉 2x+y−6=0으로 같은 답에 도달합니다.
실수를 줄이는 전략
- 도형의 대칭이동은 점의 대칭이동과 대입 방향이 반대입니다. 새 좌표 (x, y)로 옛 좌표 (a, b)를 표현한 뒤 옛 식에 넣어야 합니다. x=b+2, y=a−2에서 멈추고 그대로 대입하면 전혀 다른 직선이 나옵니다.
- 중점을 대입할 때 분모 2를 빠뜨리지 마세요. (a+x)−(b+y)−2=0으로 잘못 쓰면 상수항이 어긋나 답이 통째로 달라집니다.
- 수직 조건은 기울기의 곱이 −1입니다. 대칭축의 기울기가 1이므로 PQ의 기울기가 −1이지, −1/1을 다시 뒤집어 1로 두는 실수를 하지 마세요.
- 최종 답을 ax+by−6=0 꼴로 맞춘 뒤에 계수를 비교하세요. 만약 4x+2y−12=0이 나왔다면 반드시 2로 나누어 상수항을 −6에 맞춘 다음 a, b를 읽어야 합니다.
- 검산은 교점 대입이 가장 빠릅니다. 구한 직선 2x+y−6=0에 두 직선의 교점 (8/3, 2/3)을 넣어 16/3+2/3−6=0이 되는지만 확인하면 됩니다.
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