TOUGH
최다빈출 왕중요
원의 평행이동
y=x에 대한 대칭이동
점과 직선 사이의 거리
현의 길이
출제의도
원을 평행이동한 뒤 다시 대칭이동하고, 그 원이 주어진 직선과 만나 생기는 현의 길이를 구하는 문항입니다. 도형의 이동 단원에서 출발했지만 실제 마무리는 원의 방정식 단원의 도구인 점과 직선 사이의 거리 + 피타고라스 정리로 이루어집니다.
최다빈출로 배치된 이유는 두 단원을 잇는 통로 역할을 하기 때문입니다. 이동은 중심 좌표만 갈아 끼우면 끝나고, 현의 길이는 중심에서 직선에 수선을 내리는 그림 한 장이면 끝납니다. 두 조각을 각각 알고 있는 학생이 그것을 한 문제 안에서 이어 붙일 수 있는지가 이 문항의 관문입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
원을 이동시킬 때 실제로 움직이는 것은 중심뿐이고 반지름은 절대 변하지 않습니다. x²+y²=9의 중심은 (0, 0), 반지름은 3이므로, 두 번의 이동이 끝난 원의 반지름도 여전히 3입니다. 방정식 전체를 대입해 전개할 필요 없이 중심의 최종 위치만 추적하세요.
다음으로, 원과 직선이 두 점 P, Q에서 만날 때 선분 PQ를 구하는 표준 그림을 떠올리세요. 중심에서 직선에 내린 수선의 발을 H라 하면 H는 현 PQ의 중점이고, 삼각형 CHQ는 직각삼각형입니다. 직접 연립하지 않아도 PQ가 나옵니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
중심 (0, 0)을 x축으로 1, y축으로 2만큼 옮기면 (1, 2)이고, 이를 y=x에 대하여 대칭이동하면 좌표가 맞바뀌어 (2, 1)이 됩니다. 따라서 최종 원은 중심 (2, 1), 반지름 3입니다.
이제 중심 (2, 1)에서 직선 3x−4y−12=0까지의 거리 d를 점과 직선 사이의 거리 공식으로 구하세요. 분모의 √(3²+(−4)²)이 깔끔한 수로 떨어집니다. 반지름 r, 거리 d, 현의 절반 사이에는 (현의 절반)² + d² = r²가 성립하므로, PQ는 현의 절반의 두 배입니다.
정답 확인
정답 ④ PQ = 2√5
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A평행이동과 대칭이동으로 원의 방정식 구하기
원 x²+y²=9를 x축으로 1, y축으로 2만큼 평행이동하면 x 대신 x−1, y 대신 y−2를 대입하여
(x−1)²+(y−2)²=9
입니다. 이를 다시 y=x에 대하여 대칭이동하면 x와 y를 맞바꾸어 (y−1)²+(x−2)²=9, 즉
(x−2)²+(y−1)²=9
가 됩니다. 중심 C(2, 1), 반지름 3입니다. 반지름이 처음의 3에서 그대로임을 확인하세요.
STEP B중심에서 직선까지의 거리 구하기
중심 C(2, 1)에서 직선 3x−4y−12=0까지의 거리는
d = |3×2−4×1−12|√(3²+(−4)²) = |−10|5 = 2
입니다. d=2가 반지름 3보다 작으므로 원과 직선은 실제로 서로 다른 두 점에서 만나고, 문제의 상황과 어긋나지 않습니다.
STEP C피타고라스 정리로 현의 길이 구하기
중심 C에서 직선에 내린 수선의 발을 H라 하면 CH=2이고, H는 현 PQ의 중점입니다.
직각삼각형 CHQ — 빗변 CQ는 반지름이므로 3, 한 변 CH는 2입니다. 따라서 QH = √(3²−2²) = √5입니다.
현의 길이 — 중심에서 현에 내린 수선은 현을 이등분하므로 PQ = 2×QH = 2√5입니다. 정답은 ④입니다.
1등급 다른 풀이 · 중심만 옮기기, 그리고 연립으로 확인하기
이 유형에서 시간을 버는 관점은 원을 옮기지 말고 중심을 옮긴다입니다. 평행이동과 대칭이동은 모두 도형의 크기를 바꾸지 않는 이동이므로 반지름은 3으로 고정입니다. 중심 (0, 0)이 평행이동으로 (1, 2)가 되고, y=x 대칭으로 좌표가 맞바뀌어 (2, 1)이 되는 것만 따라가면, 방정식을 한 번도 전개하지 않고 STEP A가 끝납니다. y=−x 대칭이라면 (1, 2)→(−2, −1)처럼 부호까지 바뀐다는 점도 함께 정리해 두세요.
현의 길이를 정석대로 연립해서 구할 수도 있습니다. 직선을 y=3x−124로 두고 원에 대입해 정리하면 25x²−160x+176=0이 되고, 근과 계수의 관계에서 x₁+x₂=32/5, x₁x₂=176/25이므로 (x₁−x₂)² = (32/5)² − 4×(176/25) = 320/25입니다. 기울기가 3/4이므로 PQ = √(1+(3/4)²)×|x₁−x₂| = 54 × 8√55 = 2√5로 같은 답이 나옵니다. 답은 같지만 계산량은 서너 배이므로, 이 풀이는 검산용으로만 쓰고 실전에서는 거리 공식을 택하세요.
실수를 줄이는 전략
- 이동은 중심만 움직이고 반지름은 그대로입니다. 대칭이동을 하면서 반지름까지 바뀌었다고 착각하면 이후 계산이 전부 어긋납니다.
- y=x 대칭은 x좌표와 y좌표를 맞바꾸는 것입니다. (1, 2)→(2, 1)이며 부호는 건드리지 않습니다. y=−x 대칭인 (−2, −1)과 헷갈리지 마세요.
- 이동의 순서를 지키세요. 이 문제는 평행이동이 먼저, 대칭이동이 나중입니다. 순서를 바꾸면 중심이 (2, 1)이 아니라 (1, 2)를 옮긴 다른 점으로 갑니다.
- 거리 공식의 분모는 √(3²+(−4)²)=5입니다. 직선을 3x−4y−12=0 꼴로 정리한 뒤 계수를 읽어야 −4의 제곱을 놓치지 않습니다.
- 구한 것은 현의 절반입니다. √5에서 멈추면 선택지 ①~⑤ 어디에도 없는데, 급하면 2√5 대신 √5에 가까운 답을 고르게 됩니다. 마지막에 2를 곱했는지 확인하세요.
- 피타고라스 정리를 쓰는 직각삼각형의 빗변은 반지름입니다. 반지름과 거리의 자리를 바꿔 √(2²−3²)를 계산하면 근호 안이 음수가 되므로, 그 순간 배치가 틀렸다는 신호로 읽으세요.
엄선된 풀이 영상
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