행복한 일등급문제
아폴로니우스의 원
자취의 방정식
두 원 위의 점 사이 최대거리
출제의도
이 문항은 ‘거리의 비가 일정한 점의 자취’를 두 번 구한 뒤, 서로 다른 두 원 위를 움직이는 두 점 사이 거리의 최댓값을 묻습니다. 조건이 AP : BP = 3 : 2와 AQ : BQ = 2 : 3으로 비의 순서만 뒤바뀌어 있어, 같은 계산을 두 번 반복하는 구조처럼 보이도록 설계되어 있습니다.
일등급 문제로 배치된 이유는 두 가지입니다. 첫째, 비례식을 그대로 두면 진행이 되지 않으므로 양변을 제곱해 자취의 방정식으로 옮기는 처리가 필요합니다. 둘째, 자취를 구했다고 끝이 아니라 ‘원 위의 임의의 점’이라는 표현을 두 원의 위치 관계로 다시 읽어야 합니다. 계산은 평범하지만, 마지막에 최댓값 공식을 떠올리지 못하면 답까지 도달하지 못합니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
점 P의 좌표를 (x, y)로 놓고 조건을 식으로 옮기세요. AP : BP = 3 : 2는 2·AP = 3·BP와 같은 말이고, 루트를 없애기 위해 양변을 제곱하면 4·AP² = 9·BP²가 됩니다.
거리의 제곱을 좌표로 풀어쓰면 x², y²의 계수가 양변에서 같아지지 않기 때문에, 정리하면 결국 x²과 y²의 계수가 같은 원의 방정식 하나가 남습니다. 점 Q도 똑같은 방식으로 처리하면 원이 하나 더 나옵니다. 여기까지 오면 문제는 ‘두 원’ 문제로 완전히 바뀝니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
두 자취를 각각 완전제곱 형태로 정리해 중심과 반지름을 확인하세요. 두 원의 반지름이 모두 같은 값으로 나오고, 중심의 y좌표도 같아 두 중심이 가로로 나란히 놓인다는 점을 확인하면 계산이 맞게 흘러가고 있는 것입니다.
마지막 단계는 그림으로 판단합니다. 서로 떨어져 있는 두 원에서 한 점씩 골라 잇는 선분이 가장 길어지려면, 두 중심을 잇는 직선 위에서 바깥쪽 끝점을 각각 잡아야 합니다. 즉 (두 중심 사이의 거리) + (두 반지름의 합)이 최댓값입니다. 두 원이 겹치거나 포함 관계인지 먼저 확인한 뒤 이 공식을 쓰세요.
정답 확인
정답 선분 CD의 길이의 최댓값 = 25
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A점 P의 자취 — 원 O₁ 구하기
P(x, y)라 하면 AP : BP = 3 : 2에서 2·AP = 3·BP, 제곱하면 4·AP² = 9·BP²입니다. 즉 4{(x+2)²+(y−1)²} = 9{(x−3)²+(y−1)²}이고, 정리하면 x²+y²−14x−2y+14=0, 곧 (x−7)²+(y−1)²=36입니다. 중심 (7, 1), 반지름 6인 원입니다.
STEP B점 Q의 자취 — 원 O₂ 구하기
같은 방식으로 AQ : BQ = 2 : 3에서 3·AQ = 2·BQ, 9·AQ² = 4·BQ²이므로 9{(x+2)²+(y−1)²} = 4{(x−3)²+(y−1)²}입니다. 정리하면 x²+y²+12x−2y+1=0, 곧 (x+6)²+(y−1)²=36이고 중심 (−6, 1), 반지름 6인 원입니다.
중간 점검 — 두 원의 반지름이 모두 6으로 같고 중심의 y좌표가 모두 1입니다. 중심 사이의 거리가 반지름의 합 12보다 크므로 두 원은 서로 만나지 않고 떨어져 있습니다.
STEP C선분 CD의 최댓값 계산
두 중심 사이의 거리는 √{(7−(−6))² + (1−1)²} = 13입니다. 원 O₁ 위의 점 C와 원 O₂ 위의 점 D에 대하여 CD의 최댓값은 (두 중심 사이의 거리) + (두 반지름의 합)이므로 13 + (6+6) = 25입니다.
1등급 다른 풀이 · 내분점·외분점으로 30초에 끝내기
거리의 비가 일정한 점의 자취는 매번 전개할 필요가 없습니다. AP : BP = m : n (m ≠ n)일 때 그 자취는 선분 AB를 m : n으로 내분하는 점과 외분하는 점을 지름의 양 끝으로 하는 원입니다. 이것만 쓰면 전개 과정이 통째로 사라집니다.
A(−2, 1), B(3, 1)을 3 : 2로 내분하면 (1, 1), 외분하면 (13, 1)입니다. 두 점을 지름으로 하는 원이 O₁이므로 중심은 중점 (7, 1), 반지름은 6입니다. 마찬가지로 2 : 3 내분점은 (0, 1), 외분점은 (−12, 1)이므로 O₂의 중심은 (−6, 1), 반지름은 6입니다.
여기서 한 걸음 더 나아가면 계산이 아예 없어집니다. 두 원의 지름이 모두 y=1 위에 놓이고, 왼쪽 끝은 −12, 오른쪽 끝은 13이므로 가장 멀리 떨어진 두 점은 D(−12, 1)과 C(13, 1)입니다. 따라서 CD의 최댓값은 13 − (−12) = 25로 곧바로 나옵니다.
덧붙여 AP : BP = 3 : 2와 AQ : BQ = 2 : 3은 A와 B의 역할만 맞바꾼 조건이므로, 두 원은 선분 AB의 수직이등분선 x = 1/2에 대해 서로 대칭입니다. 실제로 중심 (7, 1)과 (−6, 1)의 중점이 (1/2, 1)이 되는지 확인하면 검산이 됩니다. 이 대칭성을 알면 원 하나만 제대로 구해도 나머지 하나는 저절로 얻어집니다.
실수를 줄이는 전략
- 비례식의 안쪽·바깥쪽을 뒤집는 순간이 첫 번째 함정입니다. AP : BP = 3 : 2는 2·AP = 3·BP입니다. 3·AP = 2·BP로 잘못 쓰면 두 원의 위치가 통째로 바뀌어 답이 달라집니다.
- 제곱하기 전에 루트를 그대로 둔 채 전개하지 마세요. 거리 조건은 항상 제곱한 형태로 옮긴 뒤 다루는 것이 원칙입니다.
- 전개 후에는 반드시 완전제곱꼴로 정리해 중심과 반지름을 눈으로 확인하세요. 일반형 상태로 두면 마지막 최댓값 계산을 할 수 없습니다.
- 최댓값 공식을 쓰기 전에 두 원의 위치 관계를 먼저 확인해야 합니다. 이 문제는 중심 거리 13 > 반지름 합 12라 두 원이 떨어져 있지만, 두 원이 겹치거나 한 원이 다른 원 안에 있는 경우에도 최댓값 공식 자체는 같습니다. 반대로 최솟값을 묻는 문제라면 위치 관계에 따라 답이 완전히 달라지므로 습관을 들여두세요.
- 중심 사이의 거리만 답으로 쓰는 실수가 잦습니다. 13은 중심 거리일 뿐이고, 문제가 묻는 것은 원 위의 점 C, D 사이의 거리라 반지름 두 개를 더해야 합니다.
엄선된 풀이 영상
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