행복한 일등급문제
Ⅰ-03 원의 방정식 · STEP3 일등급문제
내접원
외접원
직각삼각형
두 점 사이의 거리
출제의도
내접원과 외접원의 중심을 각각 찾아 거리를 재는 문항입니다. 두 중심을 구하는 방법이 완전히 달라서, 같은 삼각형을 두 가지 관점으로 읽어낼 수 있는가를 묻습니다.
내접원 쪽은 넓이를 두 번 세는 아이디어가 핵심입니다. 삼각형의 넓이는 밑변·높이로도 구할 수 있고, 내접원의 반지름 r과 둘레로도 구할 수 있습니다. 이 두 표현을 같다고 놓으면 r이 곧바로 나옵니다. 외접원 쪽은 훨씬 더 간단한데, 삼각형이 직각삼각형이라는 사실을 알아채면 중심이 빗변의 중점이라는 한 줄로 끝납니다.
절편 형태의 직선식 x5+y12=1이 주어진 것도 의도적입니다. 이 꼴은 x절편과 y절편을 그대로 읽을 수 있게 해주는 형태이고, 5와 12라는 숫자를 보는 순간 5·12·13 직각삼각형이 떠올라야 뒤의 계산이 전부 정수로 정리됩니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
먼저 삼각형의 세 꼭짓점을 확정하세요. 절편 형태의 직선식이므로 x절편과 y절편을 바로 읽을 수 있고, 나머지 한 꼭짓점은 원점입니다. 세 점을 좌표평면에 찍어보면 이 삼각형이 어떤 삼각형인지 한눈에 보입니다.
내접원의 중심 C₁을 찾는 실마리는 넓이입니다. 삼각형의 넓이를 두 가지 방법으로 표현해 보세요. 하나는 두 변의 길이로, 다른 하나는 내접원의 반지름 r과 세 변의 길이의 합으로 나타낼 수 있습니다.
외접원의 중심 C₂는 계산이 거의 필요 없습니다. 이 삼각형이 직각삼각형이라는 점을 이용하세요. 직각삼각형의 외접원에 대해 알고 있는 특별한 사실이 있습니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
A(5, 0), B(0, 12)이므로 AB의 길이는 피타고라스 정리로 구합니다(5, 12, 13을 예상하고 확인해 보세요). 삼각형 OAB의 넓이는 12×5×12로 구할 수 있고, 동시에 12×r×(세 변의 길이의 합)으로도 표현됩니다. 두 식을 연결하면 r이 나옵니다.
r을 구했다면 C₁의 좌표는 자동입니다. 내접원은 제1사분면에 있으면서 x축과 y축에 동시에 접하므로, 중심의 두 좌표는 모두 반지름과 같습니다.
C₂는 빗변 AB의 중점입니다. 두 점의 중점 공식을 그대로 적용하세요. 마지막으로 C₁과 C₂ 사이의 거리를 두 점 사이의 거리 공식으로 계산하면 됩니다. 분수 좌표가 나오니 제곱을 통분해 처리하는 편이 안전합니다.
정답 확인
정답 ③ C₁C₂ = √652
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A내접원의 반지름을 이용해 C₁의 좌표 구하기
직선 x5+y12=1이 x축과 만나는 점을 A, y축과 만나는 점을 B라 하면 A(5, 0), B(0, 12)이므로
AB = √((−5)²+12²) = 13
삼각형 OAB의 넓이는 12×5×12=30입니다. 한편 내접원의 반지름을 r이라 하면 넓이는 12×r×(둘레)로도 표현되므로
12×r×(5+12+13) = 30 → 15r = 30 → r = 2
내접원은 제1사분면에 놓이면서 x축과 y축에 동시에 접하므로 중심의 x좌표와 y좌표가 모두 r과 같습니다. 따라서 C₁(2, 2)입니다.
STEP B외접원의 중심은 빗변의 중점임을 이용해 C₂의 좌표 구하기
삼각형 OAB는 원점 O에서 직각인 직각삼각형이고, 직각삼각형의 외접원의 중심은 빗변의 중점입니다. 빗변 AB의 양 끝점이 A(5, 0), B(0, 12)이므로
C₂(52, 6)
덤으로 외접원의 반지름이 132라는 것도 함께 알 수 있습니다.
STEP C선분 C₁C₂의 길이 구하기
두 점 사이의 거리 공식을 적용하면
C₁C₂ = √((52−2)² + (6−2)²) = √(14+16) = √654 = √652
따라서 정답은 ③입니다.
1등급 다른 풀이 · 접선의 길이로 r 구하기
넓이를 두 번 세는 대신, 원 밖의 한 점에서 그은 두 접선의 길이는 같다는 성질만으로도 r을 구할 수 있습니다. 내접원의 중심에서 세 변에 내린 수선의 발을 각각 H₁(x축 위), H₂(y축 위), H₃(빗변 위)이라 하겠습니다.
원점 O에서 x축·y축은 모두 내접원의 접선이고 서로 수직이므로 OH₁=OH₂=r입니다. 이제 꼭짓점 B에서 그은 두 접선을 보면 BH₂=BH₃이고, OB=12이므로 BH₂=BH₃=12−r입니다. 같은 방식으로 꼭짓점 A에서는 OA=5이므로 AH₁=AH₃=5−r입니다.
빗변 AB는 접점 H₃에 의해 두 도막으로 나뉘므로 AB = AH₃ + BH₃, 즉
13 = (12−r) + (5−r) → 2r = 4 → r = 2
반지름이 2이고 제1사분면에서 x축·y축에 동시에 접하므로 중심은 (2, 2)로 같은 결론에 도달합니다. 이 방법은 삼각형의 넓이를 몰라도, 심지어 직각삼각형이 아니어도 세 변의 길이만 알면 통한다는 점에서 확장성이 더 큽니다.
참고로 직각삼각형에서는 세 변의 길이가 a, b, c(c가 빗변)일 때 위 식을 그대로 정리해 r = a+b−c2라는 공식을 얻습니다. 여기서는 5+12−132=2로 암산 수준에서 끝납니다. 5·12·13, 3·4·5 같은 정수 직각삼각형이 등장하면 이 공식을 기억하고 있는 쪽이 압도적으로 빠릅니다.
실수를 줄이는 전략
- 절편 형태 xa+yb=1에서 x절편은 a, y절편은 b입니다. 분모를 그대로 읽으면 되는데, 습관적으로 이항해 y=−125x+12로 고친 뒤 절편을 다시 계산하느라 시간을 버리는 경우가 많습니다.
- 내접원의 중심을 ‘세 변에서 같은 거리에 있는 점’으로 잡고 점과 직선 사이의 거리 방정식을 세우는 방법도 가능하지만, 절댓값이 붙은 식 두 개를 풀어야 해서 훨씬 오래 걸립니다. 넓이 = 12·r·(둘레) 공식을 먼저 떠올리세요.
- C₁의 좌표를 (r, r)로 쓸 수 있는 근거는 ‘제1사분면에서 두 축에 동시에 접한다’는 조건입니다. 삼각형이 다른 사분면에 걸쳐 있거나 직각이 원점에 없으면 이 논리를 쓸 수 없으니, 그림을 그려 위치를 확인한 뒤 적용하세요.
- 외접원의 중심을 세 변의 수직이등분선의 교점으로 잡고 연립하려 들면 계산이 세 배로 늘어납니다. 직각삼각형인지부터 확인하고, 맞다면 빗변의 중점 한 줄로 끝내세요.
- 마지막 거리 계산에서 (12)²을 12로 쓰는 실수가 자주 나옵니다. 그러면 √332처럼 선택지에 없는 값이 나오니, 답이 보기와 맞지 않으면 이 부분부터 다시 보세요.
엄선된 풀이 영상
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