TOUGH
중선정리(파포스 정리)
거리의 제곱의 합
최솟값
출제의도
PA²+PB²처럼 거리의 제곱의 합이 등장하면, 이를 ‘두 개의 거리 문제’로 따로 다루려는 순간 손이 꼬입니다. 이 문항은 그 합을 선분 AB의 중점 M 하나까지의 거리 문제로 압축하는 관점을 요구합니다. 압축만 되면 그다음은 앞 문항들과 똑같은 ‘원 위의 점과 정점 사이 거리의 최소’ 구조입니다.
압축 도구는 두 가지입니다. 하나는 중선정리(파포스 정리) PA²+PB²=2(PM²+AM²)를 그대로 쓰는 기하적 방법, 다른 하나는 P(a, b)로 놓고 전개한 뒤 완전제곱으로 묶는 대수적 방법입니다. 두 방법이 결국 같은 식에 도달한다는 것을 확인해 두면, 중선정리를 외우지 못한 상태에서도 이 유형을 반드시 풀어낼 수 있게 됩니다. TOUGH 태그가 붙은 이유는 계산량이 아니라 이 압축 발상을 스스로 떠올릴 수 있는가에 있습니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
A와 B는 고정된 점이고 P만 원 위를 움직입니다. 움직이지 않는 두 점이 있을 때는 그 둘의 중점을 찍어보는 것이 정석입니다. 선분 AB의 중점 M의 좌표부터 구해 좌표평면에 찍어보세요.
그다음, 삼각형 PAB에서 PM은 무엇에 해당하는지 보세요. 밑변 AB의 중점으로 그은 선분, 즉 중선입니다. 중선이 등장하면 세 변의 제곱 관계를 이어주는 정리가 하나 있습니다. 그 정리를 떠올려 PA²+PB²를 PM에 대한 식으로 바꿔보세요.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
중선정리에 의해 PA²+PB²=2(PM²+AM²)입니다. 여기서 AM은 A와 M이 모두 고정점이므로 상수이고, 변하는 것은 PM 하나뿐입니다. 따라서 PA²+PB²의 최솟값 문제는 PM의 최솟값 문제로 완전히 바뀝니다.
P는 원 x²+y²=4 위의 점이고 M은 정점이므로, PM의 최솟값은 (원의 중심 O에서 M까지의 거리)−(반지름)입니다. OM을 구해 반지름 2와 비교해 M이 원 밖에 있는지 먼저 확인한 뒤, PM의 최솟값을 구하고 마지막에 2(PM²+AM²)에 대입하세요. 마지막 대입에서 계수 2를 빠뜨리지 않는 것이 관건입니다.
정답 확인
정답 28
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A중점 M을 잡고 고정값 AM² 구하기
A(−5, −3), B(−1, −5)의 중점은 M(−5+(−1)2, −3+(−5)2) = M(−3, −4)입니다.
AM=√((−3+5)²+(−4+3)²)=√(4+1)=√5이므로 AM²=5로 고정됩니다. 이 값은 P가 어디에 있든 변하지 않습니다.
STEP BPM의 최솟값 구하기
원 x²+y²=4의 중심은 O(0, 0), 반지름은 2입니다. OM=√((−3)²+(−4)²)=√25=5이고 5>2이므로 M은 원 바깥에 있습니다.
따라서 PM의 최솟값은 (OM의 길이)−(반지름)=5−2=3이며, 이때 P는 선분 OM과 원의 교점입니다.
STEP C중선정리로 최솟값 확정
삼각형 PAB에서 중선정리에 의해
PA²+PB² = 2(PM²+AM²) ≥ 2(3²+5) = 2×14 = 28
PM이 최소일 때 등호가 성립하므로 PA²+PB²의 최솟값은 28입니다.
1등급 다른 풀이 · 중선정리 없이 좌표로 밀어붙이기
중선정리가 기억나지 않아도 이 문항은 반드시 풀 수 있습니다. 오히려 이 대수적 풀이가 왜 중점 M이 튀어나오는지를 설명해 줍니다.
원 위의 점을 P(a, b)로 놓고 그대로 전개하면
PA²+PB² = {(a+5)²+(b+3)²} + {(a+1)²+(b+5)²} = 2a²+2b²+12a+16b+60
이고, 이를 2로 묶어 완전제곱하면 2{(a+3)²+(b+4)²+5}가 됩니다. 여기서 (a+3)²+(b+4)²은 점 P(a, b)에서 점 (−3, −4)까지의 거리의 제곱인데, 이 점이 바로 선분 AB의 중점 M입니다. 중점은 외워서 도입하는 것이 아니라 전개하면 저절로 튀어나오는 점이라는 뜻입니다.
이제 PM의 최솟값 3을 대입하면 PA²+PB²=2(9+5)=28로 같은 답에 도달합니다. 덧붙여 PM의 최댓값은 OM+r=5+2=7이므로, 최댓값을 물었다면 2(49+5)=108이 됩니다. 최대·최소를 한 세트로 정리해 두면 변형 문항에 그대로 대응됩니다.
실수를 줄이는 전략
- 중선정리의 계수 2를 빠뜨리는 것이 가장 흔한 실점입니다. PA²+PB²=2(PM²+AM²)이지 PM²+AM²이 아닙니다. 9+5=14로 답을 적으면 정답의 절반이 됩니다.
- 정리에 들어가는 것은 AB가 아니라 AM(중선이 만나는 밑변의 절반)입니다. AB²=20을 그대로 넣으면 값이 어긋납니다. AM²=5임을 별도로 확인하고 넘어가세요.
- PM의 최솟값은 OM−r이지 OM+r이 아닙니다. 최대·최소가 헷갈릴 때는 원과 점 M을 대충 그려 ‘가까운 쪽 교점 / 먼 쪽 교점’을 눈으로 찍어 확인하는 것이 가장 빠릅니다.
- M이 원 안쪽이면 공식이 달라집니다. OM < r일 때 PM의 최솟값은 r−OM입니다. 이 문항은 OM=5, r=2로 명백히 바깥이지만, 이 판정 한 줄은 항상 적어두세요.
- 중점 좌표에서 부호 실수가 잦습니다. (−5+(−1))/2=−3, (−3+(−5))/2=−4로, 두 좌표 모두 음수라는 점을 확인하세요. M(−3, −4)에서 OM=5가 3·4·5 직각삼각형으로 딱 떨어지는 것이 계산이 맞았다는 신호입니다.
엄선된 풀이 영상
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