TOUGH
2020년 11월 고1 학력평가 20번
원 위의 점에서의 접선
길이 조건 번역
삼각형의 넓이
출제의도
이 문항은 원 위의 점에서 그은 접선을 좌표로 세운 뒤, 2AH=HB라는 길이 조건을 접점의 x좌표에 대한 방정식으로 옮기는 문제입니다. 실제로 쓰이는 도구는 접선의 방정식 x₁x+y₁y=4 하나뿐이고, 나머지는 x축 위에 놓인 세 점 A, H, B의 좌표 차이를 다루는 작업입니다.
난이도가 올라가는 지점은 계산이 아니라 미지수를 하나로 줄이는 결단입니다. 접점을 P(x₁, y₁)으로 두면 미지수가 둘처럼 보이지만, B와 H의 좌표가 모두 x₁만으로 결정되므로 조건식은 x₁ 하나짜리 이차방정식이 됩니다. 여기서 나온 두 근 중 제1사분면 조건에 맞는 것만 남기는 선별 과정까지가 이 문제의 전부입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
접점을 P(x₁, y₁)(x₁>0, y₁>0)으로 두세요. 원 위의 점이므로 x₁²+y₁²=4가 성립하고, 이 점에서의 접선은 x₁x+y₁y=4입니다.
이제 그림 속 세 점 A, H, B가 모두 x축 위에 있다는 데 주목하세요. A(−2, 0)은 주어져 있고, H는 P에서 내린 수선의 발이므로 H(x₁, 0), B는 접선에 y=0을 대입해 얻습니다. 길이 조건은 결국 x좌표의 뺄셈으로만 표현됩니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
접선 x₁x+y₁y=4에 y=0을 넣으면 B(4/x₁, 0)입니다. 따라서 AH=x₁−(−2)=x₁+2, HB=4/x₁−x₁이 되고, 2AH=HB에 그대로 대입한 뒤 양변에 x₁을 곱하면 x₁에 대한 이차방정식이 나옵니다. 인수분해가 깔끔하게 되니 근의 공식까지 갈 필요는 없습니다.
두 근 중 제1사분면이라는 조건으로 하나를 버리세요. 마지막으로 넓이는 밑변을 AB로 잡으면 높이가 곧 PH=y₁입니다. AB=AH+HB로 계산하면 분수가 상쇄되어 정수로 떨어집니다.
정답 확인
정답 ④ 삼각형 PAB의 넓이 = 16√23
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A접선의 방정식과 점 B의 좌표
제1사분면의 접점을 P(x₁, y₁)이라 하면 x₁²+y₁²=4입니다. 원 x²+y²=4 위의 점에서의 접선은 x₁x+y₁y=4이고, 여기에 y=0을 대입하면 x=4/x₁이므로 B(4/x₁, 0)입니다. 또 수선의 발은 H(x₁, 0)입니다.
STEP B2AH=HB로 접점의 x좌표 결정
세 점이 모두 x축 위에 있으므로 AH=x₁+2, HB=4/x₁−x₁입니다. 조건에 대입하면 2(x₁+2)=4/x₁−x₁이고, 양변에 x₁을 곱해 정리하면
3x₁²+4x₁−4=0 → (3x₁−2)(x₁+2)=0 → x₁=23 또는 x₁=−2
P가 제1사분면 위의 점이므로 x₁>0, 즉 x₁=2/3입니다. 이를 x₁²+y₁²=4에 넣으면 y₁²=4−4/9=32/9이고, y₁>0이므로 y₁=4√2/3입니다.
STEP C삼각형 PAB의 넓이 계산
x₁=2/3이므로 B(6, 0)이고 AB=6−(−2)=8입니다. 높이는 P에서 x축까지의 거리, 즉 PH=y₁=4√2/3입니다. 따라서 넓이는 ½×8×(4√2/3)=16√23입니다.
1등급 다른 풀이 · 접선의 성질과 닮음으로 읽기
좌표를 쓰지 않고 원의 접선 성질만으로도 같은 결론에 도달합니다. 직선 BP가 점 P에서 원에 접하므로 반지름 OP와 접선은 수직입니다. 즉 삼각형 OPB는 ∠OPB=90°인 직각삼각형이고, PH는 그 빗변 OB에 내린 수선이 됩니다.
OH=a(a>0)라 두면 AH=AO+OH=2+a이고, 조건에서 HB=2(2+a)=4+2a입니다. 직각삼각형 POH에서 PH²=OP²−OH²=4−a²이고, 빗변에 내린 수선의 성질(△PHO∽△BHP)에서 PH²=OH×HB=a(4+2a)입니다. 두 식을 같다고 놓으면 4−a²=2a²+4a, 즉 3a²+4a−4=0으로 좌표 풀이와 정확히 같은 이차방정식이 나옵니다. a=2/3이므로 PH=4√2/3, AB=AH+HB=8/3+16/3=8이 되어 넓이는 그대로 16√2/3입니다.
실수를 줄이는 전략
- 접선의 x절편을 외워두면 반이 끝납니다. 원 x²+y²=r² 위의 점 (x₁, y₁)에서의 접선은 x절편이 r²/x₁입니다. 접점이 y축에 가까울수록(x₁이 작을수록) B가 멀리 밀려난다는 감각까지 함께 가져가세요.
- 미지수를 둘로 두고 시작해도 됩니다. 다만 B와 H의 좌표가 y₁ 없이 x₁만으로 결정된다는 점을 확인하는 순간, 조건식은 x₁ 하나짜리가 됩니다. y₁은 마지막 넓이 계산에서만 필요합니다.
- x₁=−2를 버리는 근거는 ‘제1사분면’입니다. 조건을 안 쓰고 두 근을 모두 넣으면 A와 H가 겹쳐 삼각형이 만들어지지 않습니다. 버린 근이 왜 안 되는지 한 줄로 확인하는 습관이 안전합니다.
- 넓이의 밑변은 AB이고 높이는 PH입니다. AH나 HB를 밑변으로 착각해 절반만 계산하는 실수가 잦습니다. AB=AH+HB로 더해 8이 나오는지 반드시 확인하세요.
- y₁=±4√2/3 중 부호 선택을 잊지 마세요. 넓이는 절댓값이라 결과가 같아 보이지만, 좌표를 그대로 쓰는 다른 소문항에서는 부호가 곧바로 오답으로 이어집니다.
엄선된 풀이 영상
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