TOUGH
Ⅰ-03 원의 방정식 · 1등급을 위한 필독서
원 위의 점에서의 접선
곱셈공식의 변형
두 점 사이의 거리
출제의도
이 문항은 a, b를 각각 구하려 하면 길이 막히고, a²+b²과 a²b² 두 덩어리만 확보하면 곱셈공식으로 한 번에 끝나는 구조입니다. 원 위의 점에서의 접선 공식 ax+by=r²을 알고 있다면 식 세우기는 두 줄이고, 나머지는 대칭식을 다루는 대수 능력이 승부를 가릅니다.
TOUGH로 배치된 이유는 중간에 등장하는 1a²+1b²를 a²+b²a²b²로 통분해 이미 아는 값을 대입할 자리로 바꾸는 발상 때문입니다. 여기서 통분을 못 하고 a², b²을 따로 구하러 가면 무리방정식으로 빠져 시간을 크게 잃습니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
주어진 조건은 두 개입니다. 첫째, 점 P(a, b)가 원 x²+y²=4 위의 점이라는 것 — 대입하면 a²+b²=4가 바로 나옵니다. 둘째, 접선이 두 축과 만나는 점 사이의 거리가 4√2라는 것입니다.
원 위의 점 P(a, b)에서의 접선은 ax+by=r², 즉 ax+by=4입니다. 이 직선의 x절편과 y절편을 a, b로 표현해 두면 두 번째 조건을 식으로 옮길 수 있습니다. 구하는 것이 a⁴+b⁴이라는 점에서, 최종적으로 필요한 재료가 무엇일지 미리 짐작해 보세요.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
접선 ax+by=4에서 y=0을 넣으면 Q(4/a, 0), x=0을 넣으면 R(0, 4/b)입니다. 두 점 사이의 거리 조건을 세우고 양변을 제곱하면 16a²+16b²=32, 즉 1a²+1b²=2가 됩니다.
여기서 좌변을 통분해 a²+b²a²b² 꼴로 만드는 것이 핵심입니다. 분자에 이미 아는 4를 대입하면 a²b²의 값이 곧바로 나옵니다. 마지막은 곱셈공식 변형 a⁴+b⁴=(a²+b²)²−2a²b² 한 줄입니다. a, b를 각각 구할 필요가 전혀 없다는 점을 확인하며 마무리하세요.
정답 확인
정답 12 (a²+b²=4, a²b²=2)
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A두 조건을 식으로 옮기기
점 P(a, b)가 원 x²+y²=4 위의 점이므로 대입하면 a²+b²=4 …… ㉠ 입니다. 또한 원 위의 점 P(a, b)에서의 접선의 방정식은 ax+by=4입니다. P가 제1사분면 위의 점이므로 a>0, b>0이고, 두 절편은 모두 양수가 됩니다.
STEP B선분 QR의 길이로 a²b² 구하기
접선 ax+by=4의 x축과의 교점은 Q(4a, 0), y축과의 교점은 R(0, 4b)입니다. 따라서
QR=√(16a²+16b²)=4√2 ⇒ 16a²+16b²=32 ⇒ 1a²+1b²=2
좌변을 통분하면 a²+b²a²b²=2이고, ㉠에서 분자가 4이므로 4a²b²=2, 즉 a²b²=2입니다.
STEP C곱셈공식으로 a⁴+b⁴ 계산
a⁴+b⁴=(a²+b²)²−2a²b²이므로
a⁴+b⁴ = 4² − 2×2 = 16 − 4 = 12
a와 b의 값을 한 번도 구하지 않고 답이 나왔다는 점이 이 문제의 설계 의도입니다.
1등급 다른 풀이 · 삼각형 OQR의 넓이 두 번 세기
접선의 절편을 분수로 다루는 대신, 직각삼각형 OQR의 넓이를 두 가지 방법으로 계산해도 a²b²을 얻을 수 있습니다.
먼저 두 직각변으로 세면 넓이는 12×OQ×OR=12×4a×4b=8ab입니다. 한편 빗변 QR를 밑변으로 보면 높이는 원점 O에서 접선까지의 거리, 즉 반지름 2이므로 넓이는 12×4√2×2=4√2입니다.
두 값을 같다고 놓으면 8ab=4√2에서 ab=√2, 곧 a²b²=2가 나옵니다. 이후는 STEP C와 같습니다. 접선이 원과 접한다는 사실을 ‘원점에서 접선까지의 거리 = 반지름’으로 번역해 쓰는 훈련이 되는 풀이입니다.
참고로 a²+b²=4, a²b²=2에서 a², b²은 이차방정식 t²−4t+2=0의 두 근이므로 t=2±√2입니다. 굳이 구하면 이렇게 무리수가 나오는데, 이것만 봐도 따로 구하지 않는 편이 훨씬 빠르다는 것을 알 수 있습니다.
실수를 줄이는 전략
- 원 위의 점에서의 접선 공식은 ax+by=r²입니다. 우변을 r로 쓰거나(=2) 원의 식을 그대로 옮겨 적는 실수가 가장 흔합니다. 반지름의 제곱이라는 점을 확인하세요.
- 1a²+1b²가 나오면 반사적으로 a²+b²a²b²로 통분하세요. 역수의 합은 거의 항상 ‘합÷곱’ 꼴로 바꿔 쓰라는 신호입니다.
- 거리 조건은 루트를 남긴 채 다루지 말고 양변을 제곱한 뒤 정리하세요. (4√2)²=32이지, 4·2=8이 아닙니다.
- 구하는 것이 a⁴+b⁴처럼 대칭식이면 a, b를 각각 구할 필요가 없는지 먼저 의심하세요. 합과 곱만 있으면 되는 경우가 압도적으로 많습니다.
- a⁴+b⁴=(a²+b²)²−2a²b²에서 뒤 항의 계수 2를 빠뜨리면 16이 답이 됩니다. 곱셈공식 변형은 전개해서 한 번 확인하는 습관이 안전합니다.
- P가 제1사분면 위에 있다는 단서는 a>0, b>0을 보장해 4/a, 4/b가 정의되고 절편이 양수임을 확정해 줍니다. 조건이 왜 붙었는지 짚고 넘어가면 유사 문항에서 경우 분류를 놓치지 않습니다.
엄선된 풀이 영상
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