TOUGH
일반형과 표준형
접선의 길이
이차방정식의 두 근
출제의도
이 문항은 원 밖의 한 점에서 그은 접선의 길이를 다룹니다. 접선의 길이란 점 P에서 접점 Q까지의 거리이지 점 P에서 원의 중심까지의 거리가 아니라는 점, 그리고 원의 중심과 접점을 이은 반지름은 접선과 수직이라는 점을 알고 있어야 직각삼각형 CQP가 보입니다.
구조 자체는 단순하지만 조건이 하나 더 얹혀 있습니다. 점 P의 y좌표가 미지수 a이므로 접선의 길이가 4가 되는 a가 두 개 나오고, 문제는 그중 최댓값과 최솟값의 차를 묻습니다. 즉 이차방정식의 두 근을 모두 찾아내는 완전성이 함께 요구됩니다. 원이 일반형 x²+y²+6y+5=0으로 주어져 있어 표준형 변형이 첫 관문이라는 점도 놓치기 쉬운 부분입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
먼저 원의 방정식을 표준형으로 고치세요. x²+y²+6y+5=0에서 y에 대해 완전제곱식을 만들면 중심과 반지름이 바로 읽힙니다. 여기서 중심의 좌표와 반지름 2를 확보하는 것이 출발점입니다.
다음으로 접선의 성질을 씁니다. 원의 중심 C와 접점 Q를 이은 선분은 접선과 수직이므로 삼각형 CQP는 ∠Q가 직각인 직각삼각형이고, CQ=반지름, PQ=접선의 길이, CP=빗변입니다. 세 변 중 두 개를 이미 알고 있으니 나머지 하나로 식을 세울 수 있습니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
CP를 두 가지 방법으로 표현하는 것이 핵심입니다. 하나는 두 점 사이의 거리 공식으로 P(−2, a)와 중심의 좌표를 이용해 a에 대한 식으로, 다른 하나는 직각삼각형 CQP에서 피타고라스 정리로 CQ²+PQ²을 계산한 수로 나타냅니다. 두 표현을 같다고 놓으면 a에 대한 이차방정식이 됩니다.
이때 양변을 제곱한 상태로 다루면 루트를 벗기는 수고가 사라집니다. 정리하면 인수분해가 되는 이차방정식이 나오고 근이 두 개 나옵니다. 문제가 묻는 것은 두 근 각각이 아니라 M−m, 즉 두 근의 차이므로 마지막에 부호 처리만 조심하면 끝입니다.
정답 확인
정답 M − m = 8
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A중심과 반지름을 구하고 CP를 a로 표현
x²+y²+6y+5=0에서 x²+(y+3)²=9−5=4이므로 중심은 C(0, −3), 반지름은 2입니다. 중심에서 접점까지의 거리는 반지름과 같으므로 CQ=2입니다. 한편 두 점 P(−2, a), C(0, −3) 사이의 거리는
CP = √((−2)² + (a+3)²) = √(a²+6a+13) ⟹ CP² = a²+6a+13 ······ ㉠
STEP B피타고라스 정리로 a의 값 구하기
원의 중심과 접점을 이은 선분은 접선과 수직이므로 직각삼각형 CQP에서 CP² = CQ² + PQ²입니다. CQ=2, PQ=4이므로
a²+6a+13 = 4 + 16 = 20, 즉 a²+6a−7=0이고 (a+7)(a−1)=0이므로 a=−7 또는 a=1입니다.
STEP CM−m의 값
따라서 최댓값은 M=1, 최솟값은 m=−7이므로 M−m = 1−(−7) = 8입니다.
1등급 다른 풀이 · 접선의 길이 공식과 대칭성
원 x²+y²+Ax+By+C=0 밖의 점 (x₁, y₁)에서 그은 접선의 길이 l은 l² = x₁²+y₁²+Ax₁+By₁+C, 즉 점의 좌표를 원의 방정식 좌변에 그대로 대입한 값과 같습니다. 이는 CP²−r²을 전개한 결과이므로 표준형으로 고치는 과정을 건너뛸 수 있습니다.
P(−2, a)를 x²+y²+6y+5에 대입하면 4 + a² + 6a + 5 = a²+6a+9 = (a+3)²이 됩니다. 접선의 길이가 4이므로 (a+3)² = 16에서 a+3 = ±4, 즉 a=1 또는 a=−7이 한 줄로 나옵니다.
여기서 답의 구조가 보입니다. (a+3)²=16은 a가 −3을 기준으로 좌우 4만큼 떨어진 두 값이라는 뜻이고, −3은 곧 원의 중심의 y좌표입니다. 점 P는 직선 x=−2 위를 움직이므로 중심과 같은 높이일 때 CP가 최소이고, 거기서 위아래로 같은 거리만큼 이동한 두 점이 조건을 만족합니다. 따라서 M−m은 두 근의 차 2×4=8이며, 근을 구하지 않고 이차방정식 a²+6a−7=0의 두 근의 차 √(6²+4×7)=√64=8로 확인할 수도 있습니다.
실수를 줄이는 전략
- 일반형을 표준형으로 고칠 때 상수 이동의 부호를 확인하세요. y²+6y는 (y+3)²−9이므로 우변은 9−5=4가 됩니다. 여기서 반지름을 √5나 3으로 잘못 잡으면 이후가 전부 어긋납니다.
- 접선의 길이는 PQ입니다. 문제의 4를 CP로 착각해 CP=4로 두면 a²+6a+13=16이라는 다른 식이 나옵니다. 그림에 직각삼각형 CQP를 그려 어느 변이 4인지 표시한 뒤 식을 세우세요.
- 거리 공식을 쓴 뒤에는 루트를 벗기지 말고 양변을 제곱한 상태로 진행하세요. CP² = CQ² + PQ² 형태로 두면 무리방정식을 풀 일이 없습니다.
- 근이 두 개라는 사실을 끝까지 유지하세요. 이 문항은 ‘모든 상수 a’라고 명시했으므로 하나만 구하고 멈추면 M과 m을 정할 수 없습니다.
- M−m에서 부호 처리에 주의하세요. 1−(−7)은 8이지 −6이 아닙니다. 음수를 빼는 계산은 반드시 괄호를 씌워 적는 습관을 들이세요.
엄선된 풀이 영상
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