TOUGH
최다빈출 왕중요
Ⅰ-03 원의 방정식
두 원의 공통인 현
현의 길이
점과 직선 사이의 거리
근과 계수의 관계
출제의도
두 원이 만나서 생기는 공통인 현의 길이가 주어지고, 그 조건을 만족시키는 상수 k를 모두 찾아 합하는 문항입니다. 공통현 문제의 뼈대는 언제나 같습니다. 반지름 · 중심에서 현까지의 거리 · 현의 절반이 만드는 직각삼각형 하나입니다.
이 문항이 TOUGH로 분류된 이유는 두 가지입니다. 첫째, 현까지의 거리를 점과 직선 사이의 거리 공식으로 다시 계산해 두 값을 연결해야 합니다. 둘째, 그 과정에서 절댓값 방정식이 나와 k가 두 개 나옵니다. 문제가 ‘모든 상수 k의 값의 합’을 물은 것 자체가 근이 여러 개라는 예고이므로, 하나만 구하고 멈추면 그대로 실점입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
두 원의 중심과 반지름부터 정리하세요. x²+y²−k=0은 중심 O(0, 0), 반지름 √k이고, x²+y²−6x−6y=0은 (x−3)²+(y−3)²=18이므로 중심 O′(3, 3), 반지름 3√2입니다.
공통현 AB의 중점을 C라 하면, 중심에서 현에 내린 수선은 현을 이등분합니다. 즉 AC=√10이고 직각삼각형 O′AC에서 O′A(반지름)와 AC를 알고 있으니 O′C를 구할 수 있습니다. 이것이 ‘중심에서 공통현까지의 거리’입니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
같은 거리 O′C를 다른 방법으로도 표현해야 방정식이 생깁니다. 공통현의 방정식은 두 원의 식을 빼서 얻습니다. (x²+y²−k)−(x²+y²−6x−6y)=0에서 6x+6y−k=0입니다.
이제 점 O′(3, 3)에서 이 직선까지의 거리를 공식으로 쓰면 |36−k|÷(6√2)가 되고, 힌트 1단계에서 구한 값과 같다고 놓으면 절댓값 방정식이 완성됩니다. 절댓값을 벗길 때 양수·음수 두 경우를 모두 처리한 뒤 합을 구하세요.
정답 확인
정답 모든 k의 값의 합 = 72
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A직각삼각형에서 중심-현 사이의 거리 구하기
x²+y²−6x−6y=0은 (x−3)²+(y−3)²=18이므로 중심 O′(3, 3), 반지름 O′A=3√2입니다. 공통현 AB=2√10이고 중심에서 내린 수선은 현을 이등분하므로 AC=√10입니다. 직각삼각형 O′AC에서
O′C = √(O′A²−AC²) = √(18−10) = 2√2 ……㉠
STEP B공통현의 방정식과 점과 직선 사이의 거리
두 원의 식을 빼면 공통인 현의 방정식은 6x+6y−k=0입니다. 점 O′(3, 3)에서 이 직선까지의 거리는
O′C = |18+18−k| ÷ √(6²+6²) = |36−k| ÷ 6√2 ……㉡
㉠과 ㉡이 같으므로 |36−k| = 2√2 × 6√2 = 24입니다.
STEP Ck의 값과 그 합
36−k=24 또는 36−k=−24이므로 k=12 또는 k=60입니다. 두 값 모두 k>0이고 실제로 두 원이 두 점에서 만나므로 조건을 만족합니다. 따라서 모든 k의 값의 합은 12+60=72입니다.
1등급 다른 풀이 · 근과 계수의 관계로 합만 바로 구하기
문제가 묻는 것은 각각의 k가 아니라 합입니다. 이럴 때는 k에 대한 이차방정식만 만들어 놓고 근을 풀지 않는 편이 빠릅니다. 이번에는 중심 O(0, 0) 쪽에서 접근합니다.
원 x²+y²−k=0에서 OA는 반지름이므로 OA=√k입니다. 원점에서 공통현 6x+6y−k=0까지의 거리는 |−k|÷√(6²+6²)=k÷6√2이고, AC=√10은 그대로입니다. 직각삼각형 AOC에서 OA²=AC²+OC²이므로
k = 10 + k²72 → k²−72k+720=0
여기서 근과 계수의 관계에 의해 두 근의 합은 곧바로 72입니다. 실제로 이 방정식을 풀면 k=12, 60이 나와 앞의 결과와 일치하지만, 합만 필요하다면 판별식이 양수임(72²−4·720=2304>0)만 확인하고 끝낼 수 있습니다.
실수를 줄이는 전략
- 현 문제의 기본 도형은 반지름 · 현의 절반 · 중심에서 현까지의 거리로 이루어진 직각삼각형입니다. 그림을 그릴 때 이 세 변에 먼저 이름을 붙이고 시작하세요.
- 공통현의 방정식은 두 원의 식을 뺀 것입니다. 이때 x², y²의 계수가 1로 같아야 소거되어 직선이 됩니다.
- 어느 중심을 기준으로 삼을지 고르는 것이 계산량을 좌우합니다. 반지름이 상수인 O′(3, 3)을 쓰면 곧장 절댓값 방정식이 나오고, 반지름이 √k인 O(0, 0)을 쓰면 k에 대한 이차방정식이 나옵니다. 묻는 것이 ‘합’이면 후자가 유리합니다.
- |36−k|=24에서 한쪽 부호만 취하면 k=12 하나만 남아 답이 12가 됩니다. 절댓값은 항상 두 경우로 나누세요.
- 구한 k가 실제로 두 원이 만나게 하는 값인지 점검하세요. 두 중심 사이의 거리는 3√2이고, k=12일 때 반지름은 2√3, k=60일 때 √60이므로 두 경우 모두 두 반지름의 차보다 크고 합보다 작아 교점이 두 개 생깁니다.
엄선된 풀이 영상
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