일등급문제
내분점
행렬의 곱셈
단원 통합
출제의도
이 문항은 내분점 공식을 ‘좌표를 계산하는 절차’가 아니라 ‘x₁과 x₂에 붙는 계수’로 읽을 수 있는지 묻습니다. 선분 AB를 m : n으로 내분하는 점의 좌표는 x₁, x₂에 대한 가중평균이고, 그 가중치가 그대로 행렬 X의 성분이 됩니다. 평면좌표 단원과 행렬 단원을 이어 붙인 통합형 문항입니다.
일등급문제 스텝에 배치된 이유는 문제 전체에 구체적인 수가 하나도 없기 때문입니다. 문자만 있으면 계산 감각으로 밀어붙일 수가 없고, 내분점 공식을 반드시 계수 형태로 재배열해야만 X의 정체가 드러납니다. 공식을 외운 사람과 공식의 구조를 이해한 사람이 여기서 갈립니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
선분 AB를 2 : 1로 내분하는 점 C의 x좌표는 (2x₂ + 1x₁) ÷ 3입니다. 이것을 분배해서 다시 쓰면 (1/3)x₁ + (2/3)x₂ 꼴이 됩니다. 즉 x₁과 x₂ 앞에 붙는 계수가 각각 1/3, 2/3입니다.
한편 행렬 곱 X(x₁ y₁ ; x₂ y₂)에서 결과의 1행은 X의 1행 성분들이 원래 행렬의 1행·2행에 각각 곱해져 더해진 것입니다. 이 둘을 나란히 놓고 비교하면, X의 성분이 무엇이어야 하는지가 바로 보입니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
C와 D의 좌표를 각각 (□)x₁ + (□)x₂ 꼴로 정리하세요. C는 2 : 1 내분이므로 분모가 3, D는 3 : 1 내분이므로 분모가 4가 됩니다. x좌표에서 얻은 계수와 y좌표에서 얻은 계수가 완전히 같다는 점도 확인하고 넘어가세요. 이것이 행렬 하나로 두 좌표를 동시에 처리할 수 있는 이유입니다.
정리한 계수를 2×2 행렬로 묶으면 X가 확정됩니다. 그다음 (1, 1) 성분과 (2, 2) 성분을 골라 곱해 a를 구하고, 마지막에 문제가 요구한 8a까지 계산하세요. 성분의 위치를 헷갈리지 않도록 X를 실제로 한 번 써 보는 것이 안전합니다.
정답 확인
정답 8a = 2 (a = 14)
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A내분점 C, D의 좌표를 계수 꼴로
선분 AB를 2 : 1로 내분하는 점 C는 ((2x₂+x₁)/3, (2y₂+y₁)/3), 즉 C((1/3)x₁+(2/3)x₂, (1/3)y₁+(2/3)y₂)입니다. 3 : 1로 내분하는 점 D는 D((1/4)x₁+(3/4)x₂, (1/4)y₁+(3/4)y₂)입니다.
STEP B행렬 X 확정
(x₃ y₃ ; x₄ y₄)를 위 계수로 분해하면 (1/3 2/3 ; 1/4 3/4)(x₁ y₁ ; x₂ y₂)와 같습니다. 주어진 식 X(x₁ y₁ ; x₂ y₂) = (x₃ y₃ ; x₄ y₄)와 비교하면 X = (1/3 2/3 ; 1/4 3/4)입니다.
STEP C성분의 곱과 8a
X의 (1, 1) 성분은 1/3, (2, 2) 성분은 3/4이므로 a = 1/3 × 3/4 = 1/4입니다. 따라서 8a = 8 × 1/4 = 2입니다.
1등급 다른 풀이 · 단위행렬이 되도록 점을 잡기
주어진 관계는 A, B가 어떤 점이든 성립해야 하므로, 계산이 가장 편한 두 점을 골라도 됩니다. A(1, 0), B(0, 1)로 잡으면 (x₁ y₁ ; x₂ y₂)가 단위행렬이 되고, 단위행렬을 곱해도 값이 그대로이므로 X = (x₃ y₃ ; x₄ y₄)가 즉시 성립합니다.
이때 C는 선분 AB를 2 : 1로 내분하므로 C(1/3, 2/3), D는 3 : 1로 내분하므로 D(1/4, 3/4)입니다. 그대로 옮겨 적으면 X = (1/3 2/3 ; 1/4 3/4)이고, 문자 전개를 한 줄도 하지 않고 답이 나옵니다. 다만 이 방법은 객관식·단답형에서 시간을 버는 실전 기법이므로, 서술형 답안에서는 일반 좌표 (x₁, y₁), (x₂, y₂)로 전개한 STEP A~B 과정을 그대로 써야 감점되지 않습니다.
실수를 줄이는 전략
- m : n 내분점 공식의 자리를 확인하세요. 분자는 (m x₂ + n x₁)입니다. 2 : 1 내분에서 x₁ 앞의 계수는 2/3이 아니라 1/3입니다. 이 자리를 바꾸면 X의 두 성분이 통째로 뒤집힙니다.
- 행렬 곱의 순서를 지키세요. X가 왼쪽에 곱해져 있으므로 결과의 1행은 X의 1행에서 나옵니다. X를 오른쪽에 곱하는 것으로 착각하면 전치된 행렬이 나옵니다.
- (2, 2) 성분은 2행 2열, 즉 3/4입니다. 1/4은 (2, 1) 성분입니다. 두 값 모두 분모가 4라서 특히 헷갈리는 자리입니다.
- 마지막에 묻는 것은 a가 아니라 8a입니다. a = 1/4에서 멈추면 정답을 눈앞에 두고 오답 처리됩니다. 문제의 마지막 문장을 다시 읽는 습관을 들이세요.
엄선된 풀이 영상
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