TOUGH
최다빈출 왕중요
삼각형의 내심
각의 이등분선
내분점
출제의도
이 문항은 ‘내심’이라는 중학교 도형 용어를 좌표평면 위의 내분점 계산으로 옮기는 문제입니다. 내심 I는 세 내각의 이등분선이 만나는 점이므로, 직선 AI는 곧 ∠BAC의 이등분선이고, 이 직선이 변 BC와 만나는 점 D는 각의 이등분선 정리에 의해 BC를 AB : AC로 내분하는 점이 됩니다.
TOUGH 스텝에 놓인 이유는 계산량 때문이 아니라 첫 번역에 있습니다. 내심 I의 좌표를 먼저 구하려고 덤비면 세 변의 길이가 모두 필요하고 직선 두 개를 연립해야 해서 풀이가 크게 길어집니다. 반면 ‘I는 거쳐 가는 점일 뿐, 실제로 필요한 것은 AD가 각의 이등분선이라는 사실’임을 알아채면 거리 공식 두 번과 내분점 공식 한 번으로 끝납니다. 무엇을 구하지 않아도 되는지를 판단하는 것이 이 문제의 승부처입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
내심은 무엇의 교점인가요? 세 내각의 이등분선의 교점입니다. 그렇다면 점 A와 내심 I를 지나는 직선 AI는 ∠BAC를 이등분하는 직선입니다.
삼각형에서 한 내각의 이등분선이 마주 보는 변과 만나면, 그 변은 이웃한 두 변의 길이의 비로 나뉩니다. 즉 AB : AC = BD : DC입니다. 이 성질을 떠올리면 내심 I의 좌표는 끝까지 구하지 않아도 됩니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
먼저 두 점 사이의 거리 공식으로 AB와 AC를 구하세요. A(−1, 6), B(−4, 2), C(4, −6)이므로 근호 안이 각각 완전제곱수가 되어 정수로 딱 떨어집니다. 여기서 나온 두 값이 그대로 내분비가 됩니다.
그다음 점 D가 선분 BC를 어떤 비로 내분하는지 확정하고 내분점 공식을 적용하세요. 이때 순서가 핵심입니다. BD : DC = m : n이면 D의 좌표는 (m·C + n·B) ÷ (m+n) 꼴이므로, B쪽 비인 m이 C의 좌표에 곱해집니다. 여기서 비를 뒤집으면 결과가 완전히 달라집니다.
정답 확인
정답 ① D(−169, −29), a+b = −2
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A각의 이등분선 성질로 내분비 구하기
점 I가 삼각형 ABC의 내심이므로 AD는 ∠BAC의 이등분선이고 AB : AC = BD : DC가 성립합니다. 거리 공식에서 AB = √{(−4+1)²+(2−6)²} = √(9+16) = 5, AC = √{(4+1)²+(−6−6)²} = √(25+144) = 13이므로 BD : DC = 5 : 13입니다.
STEP B선분 BC를 5 : 13으로 내분하는 점 D
B(−4, 2), C(4, −6)에 대하여 D의 x좌표는 (5×4 + 13×(−4)) ÷ 18 = −32/18 = −16/9, y좌표는 (5×(−6) + 13×2) ÷ 18 = −4/18 = −2/9입니다. 따라서 a = −16/9, b = −2/9이고 a + b = −18/9 = −2입니다.
1등급 다른 풀이 · 좌표합만 계산하기
문제가 요구하는 것은 a와 b가 각각 얼마인지가 아니라 a + b 하나뿐입니다. 내분점 공식은 x좌표와 y좌표에 완전히 똑같은 형태로 적용되므로, 두 좌표를 따로 구한 뒤 더하는 대신 처음부터 좌표의 합에 공식을 적용해도 됩니다.
B의 좌표합은 −4+2 = −2, C의 좌표합은 4+(−6) = −2입니다. 따라서 a + b = (5×(−2) + 13×(−2)) ÷ 18 = (−10−26) ÷ 18 = −2. 분수 계산 없이 한 줄로 끝납니다. 두 점의 좌표합이 우연히 같으므로, 내분점의 좌표합도 그대로 −2라는 사실을 눈으로 확인하고 넘어가도 좋습니다.
실수를 줄이는 전략
- 내심의 좌표를 먼저 구하려 하지 마세요. 이 문제에서 I는 ‘AD가 각의 이등분선이다’라는 정보를 주기 위한 장치일 뿐, 좌표는 끝까지 필요 없습니다.
- 내분비의 방향을 반드시 확인하세요. BD : DC = 5 : 13에서 5는 B쪽 조각의 비이고, 내분점 공식에서는 이 5가 C의 좌표에 곱해집니다. 이 자리를 바꾸면 D(−8/9, 14/9) 같은 전혀 다른 점이 나옵니다.
- 음수 좌표를 거리 공식에 대입할 때는 괄호를 그대로 살려 쓰세요. {−4−(−1)}²을 (−4−1)²로 잘못 적는 순간 AB의 값부터 어긋납니다.
- 검산은 위치로 하세요. D는 선분 BC 위의 점이므로 x좌표가 −4와 4 사이에 있어야 합니다. −16/9 ≈ −1.78이므로 조건에 맞고, 그림에서 D가 원점 왼쪽 x축 근처에 있는 것과도 일치합니다.
엄선된 풀이 영상
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