TOUGH
삼각형의 무게중심
두 직선의 교점
출제의도
이 문항은 무게중심의 좌표라는 조건 하나로 미지수 두 개를 동시에 결정하는 문제입니다. 무게중심 좌표는 x성분과 y성분 두 개의 정보를 담고 있으므로, 미지수를 두 개만 남겨 두면 연립방정식이 자연스럽게 닫힙니다.
TOUGH 스텝에 배치된 이유는 미지수를 어떻게 잡느냐에 따라 계산량이 갈리기 때문입니다. 점 A, B를 각각 (x, y)로 잡으면 미지수가 넷이 되지만, 각 점이 이미 직선 위에 있다는 사실을 쓰면 점마다 문자 하나로 충분합니다. 이 ‘자유도 줄이기’가 문제의 핵심입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
점 A는 직선 y = 13x 위의 점이므로 x좌표를 a라 하면 y좌표는 자동으로 13a입니다. 마찬가지로 점 B는 y = 2x 위에 있으므로 B(b, 2b)로 둘 수 있습니다. 미지수가 넷이 아니라 둘이 되었습니다.
삼각형 OAB의 세 꼭짓점은 O(0, 0), A, B입니다. 무게중심의 좌표는 세 꼭짓점 좌표의 평균이라는 점을 이용해 식을 두 개 세워 보세요.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
무게중심의 x좌표에서 a + b = 10, y좌표에서 13a + 2b = 10이라는 두 식이 나옵니다. 두 식을 연립하면 a, b가 정수로 깔끔하게 떨어집니다.
a, b를 구하면 점 A의 좌표가 확정됩니다. 마지막으로 점 A가 직선 y = −3x + k 위에 있다는 조건을 대입해 k를 구하세요. 점 B를 대입해도 같은 값이 나오는지 검산하면 안전합니다.
정답 확인
정답 20 ( A(6, 2), B(4, 8), k = 20 )
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A무게중심 조건으로 A, B 확정
A(a, 13a), B(b, 2b)라 하면 삼각형 OAB의 무게중심은 a+b3, ⅓a+2b3입니다. 이것이 (103, 103)과 같으므로 a + b = 10, 13a + 2b = 10입니다. 연립하면 a = 6, b = 4, 즉 A(6, 2), B(4, 8)입니다.
STEP B점 A를 대입해 k 구하기
점 A(6, 2)가 직선 y = −3x + k 위의 점이므로 2 = −3 × 6 + k, 따라서 k = 20입니다. 점 B(4, 8)로 검산해도 8 = −12 + k에서 k = 20으로 일치합니다.
1등급 다른 풀이 · 처음부터 k 하나로 통일
a, b를 새로 도입하지 않고 교점을 곧바로 k로 표현하는 방법도 있습니다. y = 13x와 y = −3x + k를 연립하면 x = 310k이므로 A(310k, 110k)이고, y = 2x와 연립하면 B(15k, 25k)입니다.
이제 무게중심의 y좌표만 쓰면 (0 + 110k + 25k) ÷ 3 = 103에서 12k = 10, 즉 k = 20이 한 줄에 나옵니다. 구하는 것이 k 하나뿐일 때는 미지수도 k 하나로 맞추는 편이 빠릅니다.
실수를 줄이는 전략
- 삼각형 OAB의 꼭짓점은 셋입니다. 원점 O(0, 0)을 빼먹고 두 점의 평균으로 계산하면 분모가 2가 되어 전부 틀립니다. 0을 더하는 항을 식에 그대로 써 두는 습관이 안전합니다.
- 직선 위의 점은 문자 하나로 충분합니다. A(a, b)처럼 잡는 순간 미지수가 넷으로 늘어나 연립이 감당되지 않습니다.
- x좌표 식 하나만으로는 a, b가 정해지지 않습니다. 무게중심 조건은 반드시 x, y 두 식을 모두 써야 닫힙니다.
- a, b를 구한 뒤 곧바로 답으로 쓰지 마세요. 문제가 묻는 것은 k입니다. 구한 점을 y = −3x + k에 대입하는 마지막 한 단계를 빠뜨리는 실수가 잦습니다.
엄선된 풀이 영상
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