최다빈출
TOUGH
삼각형의 무게중심
정삼각형의 성질
출제의도
이 문항은 꼭짓점 하나와 무게중심만 주어진 정삼각형의 한 변의 길이를 묻습니다. 나머지 두 꼭짓점 B, C는 끝까지 좌표로 드러나지 않는데, 그런데도 답이 정해지는 이유는 ‘정삼각형’이라는 단어가 도형의 모양을 완전히 고정해 주기 때문입니다.
TOUGH 스텝에 배치된 이유는 좌표 문제처럼 보이지만 실제로는 도형 문제이기 때문입니다. B, C의 좌표를 미지수로 잡고 정삼각형 조건을 식으로 세우려 들면 미지수 네 개짜리 연립방정식에 갇힙니다. 무게중심이 중선을 2 : 1로 내분한다는 성질 하나로 방향을 트는 것이 승부처입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
B, C의 좌표를 각각 잡으려 하지 마세요. 대신 변 BC의 중점 M 하나만 미지수로 두면 됩니다. 무게중심은 중선 AM을 꼭짓점 쪽에서 2 : 1로 내분하는 점입니다.
A(6, 6)과 무게중심 (0, 0)을 알고 있으니, 내분점 공식을 거꾸로 세워 M의 좌표를 역산할 수 있습니다. M이 정해지면 선분 AM의 길이도 바로 계산됩니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
M(a, b)로 놓고 AM을 2 : 1로 내분하는 점이 (0, 0)이라는 식을 세우면 a와 b가 곧바로 나옵니다. 그 다음 두 점 사이의 거리 공식으로 AM을 구하세요.
정삼각형에서 중선 AM은 동시에 높이입니다. 즉 삼각형 ABM은 ∠ABM = 60°인 직각삼각형이므로 AB : AM = 2 : √3이라는 비례식을 세울 수 있습니다. 여기서 한 변 AB를 뽑아내면 끝입니다.
정답 확인
정답 ⑤ 한 변의 길이 = 6√6
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A변 BC의 중점 M 역산
M(a, b)라 하면 선분 AM은 중선이고, 무게중심은 AM을 2 : 1로 내분하는 점입니다. 내분점은 2a+63, 2b+63이고 이것이 원점 (0, 0)과 같으므로 a = −3, b = −3, 즉 M(−3, −3)입니다.
STEP B높이 AM에서 한 변 AB 계산
A(6, 6), M(−3, −3)이므로 AM = √{(−3−6)² + (−3−6)²} = 9√2입니다. 정삼각형에서 한 내각의 이등분선은 밑변을 수직이등분하므로 ∠AMB = 90°이고, 삼각형 ABM은 ∠ABM = 60°인 직각삼각형입니다. 따라서 AB : AM = 2 : √3에서 √3 × AB = 18√2, 즉 AB = 6√6입니다.
1등급 다른 풀이 · 무게중심은 곧 외심
정삼각형에서는 무게중심, 외심, 내심, 수심이 모두 한 점에서 만납니다. 즉 원점은 삼각형 ABC의 외심이기도 하므로, 원점과 꼭짓점 A 사이의 거리가 곧 외접원의 반지름 R입니다.
R = √(6² + 6²) = 6√2이고, 정삼각형의 한 변의 길이는 √3 R이므로 한 변 = √3 × 6√2 = 6√6입니다. 중점을 역산하는 과정 없이 거리 계산 한 번으로 끝나는 셈입니다. ‘정삼각형 + 무게중심’이라는 조합을 보면 외심으로 바꿔 읽는 습관이 최상위권의 속도를 만듭니다.
실수를 줄이는 전략
- 무게중심의 2 : 1은 방향이 있습니다. 꼭짓점 A에서 출발해 중점 M으로 가는 쪽이 2입니다. 순서를 뒤집으면 M의 좌표가 엉뚱하게 나옵니다.
- 중선을 곧바로 높이로 써도 되는 것은 정삼각형(또는 이등변삼각형의 꼭지각 쪽 중선)뿐입니다. 일반 삼각형에서 이 성질을 끌어 쓰면 틀립니다.
- 30°-60°-90° 직각삼각형의 변의 비 2 : 1 : √3을 외운 채로 쓰지 말고 어느 변이 어디인지 확인하세요. 빗변 AB가 2, 높이 AM이 √3에 대응합니다.
- AB = 18√2 ÷ √3처럼 분모에 무리수가 남으면 반드시 유리화해 6√6까지 정리하세요. 선지 형태와 맞지 않아 답을 못 찾는 경우가 생깁니다.
엄선된 풀이 영상
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