최다빈출 · 왕중요
TOUGH
내분점
넓이의 비
두 점을 지나는 직선
x절편
출제의도
이 문항은 앞 문제(넓이의 이등분)를 일반 비율로 확장한 유형입니다. 이등분은 1 : 1이라는 특수한 경우였고, 여기서는 3 : 2라는 임의의 비가 주어집니다. 이등분이면 중점, 일반 비율이면 내분점 — 이 대응만 세워지면 문제는 내분점 공식 한 줄로 넘어갑니다.
최다빈출·TOUGH로 동시에 표시된 이유는 이 유형이 내신에서 가장 자주 변형되는 형태이면서도 비율의 방향에서 실수가 잦기 때문입니다. 두 삼각형 ABD와 ADC는 D를 사이에 두고 B쪽과 C쪽으로 나뉘므로, 3 : 2가 BD : DC인지 DC : BD인지 한 번만 뒤집혀도 D의 좌표가 통째로 달라집니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
두 삼각형 ABD와 ADC를 밑변이 각각 BD, DC인 삼각형으로 보세요. 두 삼각형은 꼭짓점 A를 공유하고 밑변이 같은 직선 BC 위에 있으므로 높이가 같습니다. 높이가 같으면 넓이의 비는 곧 밑변의 길이의 비입니다.
따라서 (삼각형 ABD의 넓이) : (삼각형 ADC의 넓이) = BD : DC = 3 : 2이고, D는 선분 BC를 3 : 2로 내분하는 점이라는 결론이 나옵니다. 넓이 계산은 한 번도 필요하지 않습니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
B(−1, 1), C(4, −4)에 대하여 선분 BC를 m : n=3 : 2로 내분하는 점의 좌표는 ((mx₂+nx₁)/(m+n), (my₂+ny₁)/(m+n))입니다. 여기서 (x₁, y₁)은 B, (x₂, y₂)는 C입니다. 3이 곱해지는 쪽이 먼 점 C라는 것을 반드시 확인하고 대입하세요.
D의 좌표가 나오면 남은 일은 두 점 A(3, 2), D를 지나는 직선을 세우고 y=0을 대입해 x절편을 구하는 것입니다. 기울기를 구할 때 두 점의 x좌표 차가 1에 불과하다는 점을 이용하면 계산이 아주 간단해집니다.
정답 확인
정답 ② x절편 = 52
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A넓이의 비를 밑변의 비로 바꾸기
두 삼각형 ABD와 ADC는 꼭짓점 A에서 직선 BC에 내린 높이가 같으므로 넓이의 비는 밑변의 길이의 비와 같습니다. 즉 (삼각형 ABD의 넓이) : (삼각형 ADC의 넓이) = BD : DC = 3 : 2입니다.
따라서 점 D는 선분 BC를 3 : 2로 내분하는 점입니다.
STEP B내분점 D의 좌표 구하기
두 점 B(−1, 1), C(4, −4)에 대하여 선분 BC를 3 : 2로 내분하는 점 D의 좌표는
x좌표 = (3×4+2×(−1))/(3+2) = (12−2)/5 = 2
y좌표 = (3×(−4)+2×1)/(3+2) = (−12+2)/5 = −2
즉 D(2, −2)입니다.
STEP C직선 AD의 방정식과 x절편
두 점 A(3, 2), D(2, −2)를 지나는 직선의 기울기는 (−2−2)/(2−3) = (−4)/(−1) = 4이므로 y−2=4(x−3), 즉 y=4x−10입니다.
x절편은 y=0일 때의 x값이므로 0=4x−10에서 x=52입니다. 따라서 정답은 ②입니다.
1등급 다른 풀이 · 좌표의 이동량으로 내분점 잡기
내분점 공식의 부호와 순서가 자꾸 헷갈린다면, D를 B에서 C를 향해 전체의 3/5만큼 이동한 점으로 읽는 방법이 훨씬 안전합니다.
BD : DC=3 : 2이므로 D는 B에서 출발해 선분 전체 길이의 3/5 지점에 있습니다. B에서 C까지 x좌표는 4−(−1)=5만큼, y좌표는 −4−1=−5만큼 변하므로, D의 좌표는 B의 좌표에 각각 5×(3/5)=3과 (−5)×(3/5)=−3을 더한 (−1+3, 1−3), 즉 D(2, −2)가 됩니다.
이 방식은 출발점이 B라는 사실이 식에 그대로 드러난다는 것이 장점입니다. 공식에서 ‘먼 쪽에 큰 비를 곱한다’를 외울 필요 없이, BD가 3이니까 B에서 3/5만큼 간다는 문장 그대로 계산하면 됩니다. 외분점이 섞인 문제에서도 같은 방법이 통합니다.
실수를 줄이는 전략
- 넓이비를 밑변비로 바꿀 때는 높이가 같은지부터 확인하세요. 두 삼각형이 꼭짓점을 공유하고 밑변이 한 직선 위에 있을 때만 성립합니다. 이 조건을 확인하지 않고 습관적으로 비를 옮기면 다른 문제에서 그대로 틀립니다.
- 비의 방향을 뒤집지 마세요. 삼각형 ABD에는 B가, ADC에는 C가 들어 있으므로 3 : 2는 BD : DC입니다. 만약 2 : 3으로 잘못 잡으면 D(1, −1)이 되어 답이 ⑤ 근처로 흘러갑니다.
- 내분점 공식에서 큰 비 3은 먼 점 C의 좌표에 곱합니다. (3×C+2×B)/5입니다. 이 순서가 헷갈리면 위의 ‘이동량’ 방식으로 바꿔 푸는 편이 낫습니다.
- y좌표 계산에서 음수 처리에 주의하세요. 3×(−4)+2×1=−10이며, 부호를 하나만 놓쳐도 D의 y좌표가 양수로 바뀌어 그림과 어긋납니다. 그림에서 D가 x축 아래에 있다는 사실이 곧바로 검산이 됩니다.
- 마지막에 묻는 것은 x절편입니다. y=4x−10에서 상수항 −10을 그대로 답으로 쓰면 그것은 y절편입니다. y=0을 대입하는 한 줄을 반드시 쓰고 답을 적으세요.