쎈수학 미적분Ⅰ · 07 부정적분 · f′(x)로 f(x) 구하기
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문제를 읽자마자
출제의도
적분하기 전에 약분부터 하라는 문제 — 인수분해가 8할이다
분모에 x⁴+1이 있으니 이대로는 적분할 수 없습니다. 이 단원에서 배운 적분 공식은 다항함수뿐이니까요. 출제자가 분자를 x⁸−1로 준 이유는 단 하나, (x⁴)²−1²로 보고 인수분해해서 분모와 지우라는 뜻입니다. 약분만 되면 그다음은 다항함수 적분 + f(1)로 C 결정이라는 기본 절차입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 분자를 A²−B²로 보기
x⁸은 (x⁴)²입니다. 그러면 x⁸−1 = (x⁴+1)(x⁴−1).
분모가 x⁴+1이니 그대로 약분됩니다. f′(x)는 결국 어떤 다항식이 되나요?
분모가 x⁴+1이니 그대로 약분됩니다. f′(x)는 결국 어떤 다항식이 되나요?
힌트 2 — 적분상수를 빠뜨리지 마세요
f(x) = ∫(x⁴−1)dx = ⅕x⁵ − x + C.
여기서 C를 안 쓰면 f(1)=6/5라는 조건을 쓸 자리가 없어집니다. 조건이 하나 주어졌다는 건 미지수가 하나 있다는 뜻입니다.
여기서 C를 안 쓰면 f(1)=6/5라는 조건을 쓸 자리가 없어집니다. 조건이 하나 주어졌다는 건 미지수가 하나 있다는 뜻입니다.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
f(1) = 1/5 − 1 + C = 6/5 에서 C를 구하세요.
그다음 f(−1)에 대입할 때 (−1)⁵ = −1, 그리고 −(−1) = +1 입니다. 부호가 연속으로 두 번 나옵니다.
그다음 f(−1)에 대입할 때 (−1)⁵ = −1, 그리고 −(−1) = +1 입니다. 부호가 연속으로 두 번 나옵니다.
다 풀고 나서
해설
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정답 ④ 14/5
검산용 지름길 — 홀수차 항은 서로 상쇄된다
f(x) = ⅕x⁵ − x + 2 에서 ⅕x⁵ − x 부분은 기함수라 x=1과 x=−1에서 값이 정확히 부호만 반대입니다.
따라서 f(1) + f(−1) = 2C = 4. f(1)=6/5이므로 f(−1) = 4 − 6/5 = 14/5. C만 구하면 대입 없이 답이 나오니 검산에 쓰세요.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
약분하지 않고 분수 그대로 적분하려 한다
분수함수는 이 단원의 적분 공식으로 처리할 수 없습니다. 분모가 있는 f′(x)를 만나면 “약분되나?”부터 확인하는 게 순서입니다. 분자에 x⁸, x⁶, x⁴처럼 짝수 지수만 보이면 A²−B² 인수분해를 의심하세요. -
적분상수 C를 빼먹는다
부정적분은 항상 +C입니다. C가 없으면 f(1)=6/5라는 조건이 갈 곳이 없어지고, 1/5−1=−4/5가 6/5와 다르다며 문제가 이상하다고 생각하게 됩니다. -
f(1)=6/5를 답으로 착각한다
선택지 ②에 6/5가 그대로 놓여 있습니다. 구하는 값은 f(−1)입니다. 문제 마지막 줄을 다시 읽고 대입하세요. -
(−1)⁵의 부호를 놓친다
⅕(−1)⁵ = −1/5 이고, −x 항은 −(−1) = +1 입니다. 두 항의 부호가 서로 반대로 갈리므로 −1/5 + 1 + 2 = 14/5. 한 곳만 틀려도 ①이나 ⑤로 빠집니다. -
x⁸−1을 (x⁴−1)² 같은 꼴로 잘못 편다
합차공식은 A²−B²=(A+B)(A−B)입니다. (x⁴−1)²은 x⁸−2x⁴+1이라 전혀 다릅니다. 인수분해한 뒤 한 번 전개해서 원식으로 되돌아오는지 확인하는 습관을 들이세요.