쎈미적분1 0692

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쎈수학 미적분Ⅰ · 06단원 · 유형 12 속도·가속도와 운동 방향

0692
대표 문제
운동 방향의 전환
풀이영상 있음

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원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 P의 시각 t에서의 위치가

x = t³ − 6t² + 9t

이고, 점 P는 출발 후 운동 방향을 두 번 바꾼다. 운동 방향을 바꾸는 순간의 위치를 각각 A, B라 할 때, 두 점 A, B 사이의 거리를 구하시오.

문제를 읽자마자

출제의도

“운동 방향을 바꾼다”를 속도 = 0으로 번역할 수 있는가

이 유형의 출발점은 단 한 줄, v=0입니다. 다만 v=0에서 나오는 것은 시각 t이고 문제가 물은 것은 위치입니다. 시각을 다시 위치 식에 넣는 한 단계를 건너뛰지 않는지가 이 대표 문제의 진짜 관문입니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 조건을 식으로 옮기기
수직선 위의 점이 방향을 바꾸는 순간, 속도의 부호가 양에서 음으로(또는 그 반대로) 넘어갑니다. 그 경계에서 속도는 얼마일까요?
운동 방향을 바꾸는 순간의 속도는 0입니다. 먼저 v를 구하세요.
힌트 2 — 시각 찾기
v = dx/dt = 3t² − 12t + 9 = 3(t−1)(t−3)입니다.
v=0에서 t=1 또는 t=3. 방향을 두 번 바꾼다는 문장과 근이 두 개인 것이 정확히 맞아떨어집니다.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
구해야 하는 것은 t가 아니라 그때의 위치입니다. x = t³ − 6t² + 9t에 t=1, t=3을 각각 대입하세요.
두 위치를 얻었다면 거리는 두 값의 차의 절댓값입니다.

다 풀고 나서

해설과 풀이영상

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정답 4

쎈 미적분1 0692번 해설

풀이영상

다른 시선 — 극대·극소로 읽기

x = t³ − 6t² + 9t의 그래프에서 v=0인 t=1은 극대점, t=3은 극소점입니다.
즉 A는 극댓값 x(1)=4, B는 극솟값 x(3)=0이고, 두 점 사이의 거리는 극댓값 − 극솟값 = 4 − 0 = 4.
“운동 방향 전환 = 극점”으로 붙여 두면 이후 문항에서 그래프 개형까지 한 번에 그려집니다.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • t=1, t=3을 그대로 답으로 쓴다
    v=0에서 나오는 값은 시각입니다. A, B는 위치이므로 반드시 x에 다시 대입해야 합니다. 가장 많이 나오는 실수입니다.
  • v=0 대신 x=0을 푼다
    x=0은 원점을 지나는 순간이지 방향을 바꾸는 순간이 아닙니다. “방향 전환 = 속도 0″을 조건 문장 옆에 바로 적어 두세요.
  • 두 점 사이의 거리와 움직인 거리를 혼동한다
    A, B 사이의 거리는 |4 − 0| = 4입니다. 반면 t=0부터 t=3까지 실제로 움직인 거리는 4 + 4 = 8. 무엇을 물었는지 다시 읽으세요.
  • 차를 구하면서 절댓값을 씌우지 않는다
    0 − 4 = −4처럼 음수가 나오면 거리로 쓸 수 없습니다. 거리는 항상 0 이상입니다.
  • 인수분해에서 3을 묶지 않아 근을 놓친다
    3t² − 12t + 9 = 3(t² − 4t + 3) = 3(t−1)(t−3). 공통인수 3을 먼저 빼면 실수 확률이 크게 줍니다.


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