쎈미적분1 0679

작성자:

쎈수학 미적분Ⅰ · 06단원 · 유형 09 부등식 f(x) > g(x)가 항상 성립할 조건

0679
대표문제
개념 06-2
집중공략

쎈 미적분1 0679번 문제

유형 09 · 부등식 f(x) > g(x)가 항상 성립할 조건

  1. 어떤 구간에서 f(x) > g(x)가 항상 성립하려면 → h(x) = f(x) − g(x)라 할 때, 그 구간에서 (h(x)의 최솟값) > 0
  2. 두 그래프의 위아래 관계는 뺄셈 한 번으로 하나의 함수 부호 문제가 된다.


문제를 읽자마자

출제의도

두 그래프의 위아래 비교는 h = f − g 하나로 합쳐서 최솟값의 부호만 보라는 문제

“y=f(x)의 그래프가 y=g(x)의 그래프보다 항상 위쪽”은 모든 실수 x에 대하여 f(x) > g(x)라는 뜻입니다. 두 그래프를 각각 그려 비교하는 길은 없고, h(x)=f(x)−g(x)로 빼는 순간 4차식 하나의 최솟값 문제로 내려앉습니다. 게다가 h′(x)에 (x+1)²이라는 중근이 숨어 있어, “f′(x)=0인 x는 전부 극점”이라고 믿는 학생을 정확히 걸러 내는 대표문제입니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 두 함수를 하나로
“항상 위쪽”을 부등식으로 옮기면 모든 실수 x에서 f(x) − g(x) > 0입니다.
h(x) = f(x) − g(x)를 직접 계산해 보세요. 3차항 2x³이 서로 지워지고, 상수 −a를 빼면 +a가 됩니다. 정리하면 h(x) = x⁴ − 6x² − 8x + a.
힌트 2 — 중근에 걸리지 않기
h′(x) = 4x³ − 12x − 8 = 4(x+1)²(x−2).
h′(x)=0에서 x=−1과 x=2가 나오지만, x=−1은 중근이라 그 앞뒤로 h′의 부호가 바뀌지 않습니다. 즉 x=−1은 극점이 아닙니다. 증감표에서 −, 0, −, 0, + 로 부호를 적어 확인하세요.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
h는 x=2까지 계속 감소하다가 그 뒤로 증가하므로, 최솟값은 h(2) = 16 − 24 − 16 + a = a − 24입니다.
모든 실수 x에서 h(x) > 0이려면 a − 24 > 0. 등호가 붙지 않는다는 점을 확인하세요.

충분히 고민했다면

정답과 해설

해설 펼쳐보기
쎈 미적분1 0679번 해설

채점 전에 확인

실수를 줄이는 전략

  • x=−1을 극소로 착각해 a+3 > 0으로 답한다
    가장 많이 나오는 오답 a > −3의 정체입니다. h′(x)=4(x+1)²(x−2)에서 (x+1)²은 항상 0 이상이라 x=−1 좌우로 부호가 그대로 −입니다. 중근이 보이면 반드시 증감표에 부호를 직접 적어 확인하세요.
  • −a를 빼면서 부호를 흘린다
    h(x) = f(x) − g(x)에서 −(−a) = +a입니다. 여기서 −a로 적으면 최솟값이 −a−24가 되어 a < −24 쪽 오답으로 흘러갑니다.
  • g(x) − f(x)로 거꾸로 뺀다
    “위쪽에 있는 쪽에서 아래쪽을 뺀다”가 순서입니다. f가 위쪽이므로 h = f − g. 거꾸로 빼면 부등호 방향까지 뒤집어야 해서 실수가 겹칩니다.
  • a ≥ 24로 등호를 붙인다
    a=24이면 x=2에서 두 그래프가 만나 h(2)=0이 됩니다. “항상 위쪽”은 접하는 것도 허용하지 않으므로 a > 24입니다.
  • h′(x)를 인수분해하다 x=2만 찾고 멈춘다
    4x³−12x−8은 x=2를 대입해 0이 되므로 조립제법으로 (x−2)를 먼저 빼면 4(x²+2x+1)=4(x+1)²이 남습니다. 남은 이차식이 완전제곱이라는 사실이 이 문제의 핵심 장치입니다.


다른 문항도 풀어보기 — 전체 목록 바로가기  ›

문제번호로 바로 찾아가는 메인포스트

댓글 남기기