쎈미적분1 0675

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쎈수학 미적분Ⅰ · 06단원 · 유형 08 주어진 구간에서 부등식이 항상 성립할 조건; 최대·최소의 활용

0675
대표문제
개념 06-2
부등식의 활용

쎈 미적분1 0675번 문제

유형 08 · 주어진 구간에서 부등식이 항상 성립할 조건

  1. 어떤 구간에서 f(x) ≤ a 가 항상 성립하려면 → 그 구간에서 (f(x)의 최댓값) ≤ a
  2. 어떤 구간에서 f(x) ≥ a 가 항상 성립하려면 → 그 구간에서 (f(x)의 최솟값) ≥ a


문제를 읽자마자

출제의도

“항상 성립”을 최솟값 하나 구하는 문제로 갈아끼우라는 문제

부등식 4x³−3x²−6x ≥ k 를 x에 대해 풀려고 하면 3차부등식이 되어 손을 댈 수 없습니다. 좌변을 f(x)로 놓고 “x ≥ −1인 모든 x에서 f(x)가 k 이상”이라고 읽으면, 확인할 것은 f(x)가 가장 작아지는 지점 딱 하나뿐입니다. 부등식 문제를 최대·최소 문제로 번역하는 것이 이 유형 전체의 출발점이고, 여기서는 구간이 x ≥ −1로 잘려 있다는 점이 함정 장치입니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 무엇을 구해야 하는지부터
부등식을 x에 대해 풀 생각을 하고 있다면 멈추세요.
f(x) = 4x³−3x²−6x 라 두면 문제는 “x ≥ −1인 모든 x에서 f(x) ≥ k“입니다. 모든 함숫값이 k 이상이려면, 그중 가장 작은 값이 k 이상이면 충분합니다. 즉 구할 것은 x ≥ −1에서 f(x)의 최솟값 하나입니다.
힌트 2 — 증감표를 구간에 맞춰 만들기
f′(x) = 12x²−6x−6 = 6(2x+1)(x−1)이므로 f′(x)=0에서 x = −1/2 또는 x = 1입니다.
여기서 중요한 건 증감표를 x = −1부터 시작해서 그린다는 점입니다. 구간이 x ≥ −1이므로 구간의 끝점 f(−1)도 후보에 반드시 넣어야 합니다.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
f(−1) = −1, 극댓값 f(−1/2) = 7/4, 극솟값 f(1) = −5이고 x → ∞ 에서는 계속 증가합니다.
후보는 −1과 −5 둘뿐이고 최솟값은 −5입니다. 따라서 −5 ≥ k, 즉 k ≤ −5.
문제가 묻는 것은 k의 최댓값이라는 점을 놓치지 마세요.

충분히 고민했다면

정답과 해설

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쎈 미적분1 0675번 해설

채점 전에 확인

실수를 줄이는 전략

  • 구간의 끝점 x=−1을 후보에서 빠뜨린다
    극값만 계산하고 f(−1)을 건너뛰는 답안이 가장 많습니다. 구간이 잘려 있으면 끝점의 함숫값은 항상 최대·최소 후보입니다. 이 문제는 f(−1)=−1이라 결론이 바뀌진 않지만, 끝점이 최솟값이 되는 문제가 바로 다음에 나옵니다.
  • 극댓값 7/4을 최솟값 자리에 쓴다
    증감표에서 f′의 부호가 +에서 −로 바뀌는 x=−1/2이 극대, −에서 +로 바뀌는 x=1이 극소입니다. 화살표 방향을 표에 직접 그려 넣고 읽으세요.
  • 부등호 방향을 뒤집어 k ≥ −5로 쓴다
    (최솟값) ≥ k 이므로 −5 ≥ k, 즉 k ≤ −5입니다. k가 최솟값보다 작아야 부등식이 무너지지 않습니다.
  • 범위 k ≤ −5까지만 쓰고 끝낸다
    묻는 것은 k의 최댓값입니다. 범위의 오른쪽 끝인 −5가 답이며, 등호가 포함되므로 최댓값이 실제로 존재합니다.
  • x ≥ −1 조건을 무시하고 실수 전체에서 판단한다
    3차함수는 실수 전체에서 최솟값이 없어 k가 존재하지 않습니다. “구간이 주어졌으니 최솟값이 생긴다”는 구조 자체가 이 문제의 설계입니다.


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