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쎈수학 미적분Ⅰ · 06 도함수의 활용 — 방정식과 부등식
0671
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유형 07 구간에서 부등식이 성립할 조건
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출제의도
극값을 찾지 말고, 구간 안에서 증가인지 감소인지부터 확인하라는 문제
f(x)=x³−6x²+k의 극점은 x=0, x=4로 둘 다 구간 (1, 3) 밖에 있습니다. 구간 안에서는 f′(x)<0 한 가지 부호뿐이라 그래프가 계속 내려가기만 합니다. 그러면 값이 가장 작아지는 쪽은 오른쪽 끝. 여기에 열린 구간이라는 조건이 붙어 등호가 살아나는 것이 이 문제의 핵심 한 줄입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 구간 안에서의 부호부터
최솟값을 구하려고 극값부터 계산하고 있다면 잠깐 멈추세요.
f′(x)=3x²−12x=3x(x−4)입니다. 0<x<4에서 이 값의 부호는 어떻게 되나요? 구간 (1, 3)이 그 안에 통째로 들어간다는 점을 확인하세요.
f′(x)=3x²−12x=3x(x−4)입니다. 0<x<4에서 이 값의 부호는 어떻게 되나요? 구간 (1, 3)이 그 안에 통째로 들어간다는 점을 확인하세요.
힌트 2 — 감소함수라면 어디가 가장 낮은가
구간 (1, 3)에서 f′(x)<0이므로 f는 감소합니다. 계속 내려가는 그래프에서 값이 가장 낮아지는 쪽은 오른쪽 끝 x=3입니다.
따라서 조건은 x=3 근처의 값이 0 아래로 내려가지 않는 것 하나로 압축됩니다.
따라서 조건은 x=3 근처의 값이 0 아래로 내려가지 않는 것 하나로 압축됩니다.
힌트 3 — 등호를 넣을까 뺄까
구간이 1<x<3, 즉 x=3은 포함되지 않습니다. 그래서 f(3)=0이어도 구간 안에서는 여전히 f(x)>0입니다.
결론은 f(3)≥0 (등호 포함). 27−54+k≥0을 풀어 보세요.
결론은 f(3)≥0 (등호 포함). 27−54+k≥0을 풀어 보세요.
다 풀고 나서
정답과 해설
정답·해설 펼치기
정답 ⑤ k ≥ 27
다른 길 — k를 분리하기
x³−6x²+k>0을 k > −x³+6x²로 옮기고 g(x)=−x³+6x²라 두면, 구간 (1, 3)의 모든 x에 대해 k가 g(x)보다 커야 합니다.
g′(x)=−3x(x−4)>0이므로 g는 (1, 3)에서 증가하고, 오른쪽 끝값 g(3)=27에는 도달하지 않습니다. 따라서 k≥27. 답이 같고, 등호가 붙는 이유도 똑같이 “끝점이 구간에 없다”입니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
등호를 빼고 k>27이라 쓴다
x=3은 구간에 포함되지 않으므로 f(3)=0이어도 1<x<3에서는 f(x)>0입니다. 열린 구간의 끝점에서는 등호가 살아납니다. -
극값에서 최솟값을 찾으려 한다
f′(x)=0인 x=0, 4는 모두 구간 밖입니다. 극점이 구간 밖이면 증가·감소 한 방향이므로 끝점만 보면 됩니다. -
왼쪽 끝 f(1)을 기준으로 잡는다
감소함수에서 왼쪽 끝은 가장 큰 값 쪽입니다. f(1)≥0으로 풀면 k≥5라는 헐거운 조건이 나옵니다. -
부호 계산에서 27−54를 틀린다
f(3)=27−54+k=k−27. 여기서 −27을 놓치면 k≥54나 k≥−27 같은 선택지에 그대로 걸립니다. -
닫힌 구간 문제와 처리를 섞는다
1≤x≤3이었다면 최솟값이 실제로 존재하므로 결론은 같아도 서술이 달라집니다. 문제의 부등호가 <인지 ≤인지 먼저 동그라미 치세요.
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