쎈미적분1 0658

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쎈수학 미적분Ⅰ · 06 도함수의 활용 ― 방정식과 부등식

0658
난이도 중
서술형
세 실근 조건 + 극댓값
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쎈 미적분1 0658번 문제

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출제의도

문자 n을 그대로 둔 채 판정하고, 자연수라는 조건으로 최솟값을 확정하라

두 덩어리로 된 서술형입니다. 앞부분은 “서로 다른 세 실근 ⟺ f(0)f(n)<0″이라는 판정 조건을 n에 대한 부등식으로 옮기는 일이고, 뒷부분은 확정된 n=2를 다시 대입해 증감표로 극댓값을 읽는 일입니다. 두 단계가 각각 배점을 가지므로, 근거 문장을 빠뜨리면 답이 맞아도 점수가 깎입니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — n에 숫자를 넣어보고 싶겠지만
n=1, 2, 3을 차례로 대입해 보는 건 시간이 오래 걸리고 서술형 점수도 받기 어렵습니다. n을 문자 그대로 둔 채 f′(x)=6x²−6nx=6x(x−n)을 먼저 구하세요.
극점 두 개는 어디인가요?
힌트 2 — 세 실근의 조건
극점은 x=0과 x=n입니다. 서로 다른 세 실근을 가지려면 두 극값의 부호가 달라야 하므로 f(0)f(n)<0.
f(0)=n, f(n)=2n³−3n³+n=−n³+n을 대입해 n에 대한 부등식을 만드세요.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
n(−n³+n)<0을 정리하면 n²(n+1)(n−1)>0, 즉 n<−1 또는 n>1입니다. 여기서 n은 자연수라는 조건을 써서 n>1 → 최소 n=2, 곧 a=2.
이제 f(x)=2x³−6x²+2에 대해 증감표를 그리세요. 극댓값은 x=0과 x=2 중 어느 쪽에서 나오나요?

다 풀고 나서

해설과 풀이영상

정답·해설 펼치기

정답 4  (a=2, b=2)

쎈 미적분1 0658번 해설 1
쎈 미적분1 0658번 해설 2

풀이영상

더 빠른 길 — 극댓값은 볼 필요가 없다

n이 자연수이므로 극댓값 f(0)=n은 언제나 양수입니다. 따라서 두 극값의 부호가 달라지려면 극솟값 하나만 음수이면 충분합니다.
−n³+n<0 ⟺ n³>n ⟺ n²>1 ⟺ n>1. 곱셈식을 전개하지 않고 한 줄로 n=2가 나옵니다.

채점 기준 — 어디서 점수가 갈리나

❶ a의 값을 구할 수 있다 … 50%
❷ b의 값을 구할 수 있다 … 40%
❸ a+b의 값을 구할 수 있다 … 10%
배점의 절반이 앞 단계에 걸려 있습니다. f(0)f(n)<0이라는 근거 문장과 “n이 자연수이므로”라는 한 줄을 반드시 답안에 적으세요.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • n<−1까지 답으로 남긴다
    부등식을 풀면 n<−1 또는 n>1이 나오지만, 문제는 n이 자연수라고 못박았습니다. 조건을 적용하는 문장을 답안에 쓰지 않으면 서술형에서 감점됩니다.
  • 극댓값을 x=n에서 찾는다
    n>0이므로 f′(x)=6x(x−n)의 부호는 +, −, + 순서입니다. 극대는 왼쪽 극점 x=0, 극소는 x=n. 증감표를 그리면 헷갈릴 일이 없습니다.
  • b에 극솟값 −6을 넣는다
    n=2일 때 f(2)=−6은 극솟값입니다. 문제가 요구한 것은 극댓값 f(0)=2. b=2입니다.
  • n(−n³+n)<0을 n으로 그냥 나눈다
    n의 부호를 모른 채 나누면 부등호 방향이 무너집니다. n²(n+1)(n−1)>0 꼴로 인수분해한 뒤 판단하세요.
  • a=2를 구하고 만족해서 멈춘다
    구해야 할 것은 a+b입니다. a=2를 f(x)에 다시 대입하는 단계가 남아 있습니다. 문제 마지막 줄을 다시 읽는 습관을 들이세요.


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