쎈미적분1 0651

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쎈수학 미적분Ⅰ · 06 도함수의 활용

0651
난이도 중
삼차방정식의 실근의 개수
서술형
풀이영상 있음

방정식 x³ − 12x² + 36x − k = 0 이 한 개의 양근과 두 개의 허근을 갖도록 하는 정수 k의 최솟값을 구하시오.


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문제를 읽자마자

출제의도

“허근 두 개”를 실근이 정확히 하나로 번역하고, 그 근의 부호까지 그래프에서 읽어내라는 문제

실계수 삼차방정식에서 허근은 항상 켤레쌍으로 나오므로, 허근이 두 개라는 말은 서로 다른 실근이 딱 하나(중근도 아님)라는 뜻입니다. 여기에 “그 근이 양수”라는 조건이 하나 더 붙어 있고, 이 두 번째 조건을 놓치는 학생을 걸러내려고 만든 문제입니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 방향부터 잡기
k가 들어간 삼차방정식의 근을 직접 구하려 하고 있다면 멈추세요. k만 우변으로 넘기는 상수분리가 첫 수순입니다.
x³−12x²+36x = k 로 두면, 이제 곡선 y=x³−12x²+36x 와 직선 y=k의 교점 문제로 바뀝니다. 그렇다면 “허근 2개”는 교점이 몇 개라는 뜻일까요?
힌트 2 — 그래프 그리기
f(x)=x³−12x²+36x 라 하면 f′(x)=3x²−24x+36=3(x−2)(x−6)입니다.
x=2에서 극대, x=6에서 극소. 두 값을 직접 계산해 보세요. f(2)=32, f(6)=0입니다.
이 개형에서 수평선 y=k와 교점이 1개뿐이 되는 k의 범위는 위쪽과 아래쪽, 두 덩어리로 나옵니다.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
k>32 와 k<0, 두 후보가 나왔을 것입니다. 여기서 문제가 요구한 “양근” 조건을 씁니다.
f(x)=x(x−6)² 로 인수분해되므로 x<0이면 f(x)<0입니다. 즉 k<0인 쪽 교점은 x좌표가 음수라서 탈락.
남은 것은 k>32. 등호가 빠져 있으니 정수 최솟값은 32가 아닙니다.

다 풀고 나서

정답과 해설

정답·해설 펼치기

정답 33

쎈 미적분1 0651번 해설

더 빠른 길 — 인수분해로 부호부터 확정

f(x)=x³−12x²+36x = x(x−6)² 입니다. 이 한 줄이면 f(x)<0 ⟺ x<0 이 바로 보이므로, k가 음수인 경우는 그래프를 다시 보지 않고도 “그 교점은 음수 쪽”이라고 잘라낼 수 있습니다.
남는 것은 x>0 구간에서 y=k와 딱 한 번 만나는 경우, 즉 극댓값 32를 넘길 때뿐이므로 k>32, 정수 최솟값 33.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • “허근 2개”를 그래프 조건으로 바꾸지 못한다
    실계수 방정식의 허근은 켤레쌍입니다. 허근 2개 = 실근 1개(중근 아님) = 곡선과 직선 y=k의 교점이 정확히 1개. 이 번역이 서술형 첫 채점 포인트입니다.
  • k<0까지 답에 포함시킨다
    교점 개수만 보면 k<0도 1개이지만, 그때 교점의 x좌표는 음수입니다. “양근”이라는 단어를 조건으로 옮겨 적지 않으면 반드시 틀립니다.
  • k=32를 포함시킨다
    k=32이면 x³−12x²+36x−32=(x−2)²(x−8)=0이 되어 실근이 x=2(중근), x=8 두 개입니다. 허근이 아예 없으므로 제외. 부등호에 등호를 붙이지 마세요.
  • k>32까지 구하고 32라고 답한다
    부등호가 >이므로 32는 포함되지 않습니다. 정수 최솟값은 33. 마지막 한 칸을 옮기는 이 계산에 배점 10%가 걸려 있습니다.
  • 극값 계산에서 f(2)를 틀린다
    f(2)=8−48+72=32입니다. 부호 실수로 −32나 16이 나오면 그 뒤 논리가 아무리 맞아도 답이 통째로 달라집니다. 증감표에 값을 적기 전에 한 번 더 대입하세요.


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