쎈미적분1 0602

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쎈수학 미적분Ⅰ · 05단원 · 유형 18 함수의 최대·최소를 이용한 미정계수의 결정

0602
난이도 중
서술형
최대·최소와 미정계수
풀이영상 있음

문제 조건 · 본책 97쪽 · 서술형

닫힌구간 [−2, 3]에서 f(x) = 2x³ − 6x² + k 의 최솟값이 −8이다. (단, k는 상수)
→ 이 구간에서 f(x)의 최댓값을 구하시오.

먼저 풀이영상으로 감을 잡고 싶다면

문제를 읽자마자

출제의도

후보가 네 개이고, 최댓값이 두 지점에서 동시에 나오는 문제

구간 [−2, 3] 안에 f′(x)=0의 해가 x=0, x=2 둘 다 들어옵니다. 끝점 2개에 극값 2개, 후보가 네 개입니다. 그리고 f(0)과 f(3)이 같은 값이라 최댓값을 갖는 지점이 두 곳입니다. 서술형으로 나온 이유가 여기 있습니다. 네 값을 모두 비교했다는 것과, 최댓값 지점이 x=0 또는 x=3이라는 것을 답안에 남겨야 만점입니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 후보를 빠짐없이
f′(x) = 6x² − 12x = 6x(x−2)이므로 f′(x)=0의 해는 x=0, x=2입니다.
이번에는 둘 다 구간 [−2, 3] 안에 있습니다. 여기에 끝점 x=−2, x=3을 더하면 비교할 값이 네 개입니다. 최솟값만 물었다고 해서 한쪽만 계산하면 안 됩니다.
힌트 2 — k를 떼고 비교
네 값은 f(−2)=k−40, f(0)=k, f(2)=k−8, f(3)=k 입니다.
k가 공통이므로 −40, 0, −8, 0만 비교하면 대소가 그대로 보입니다. 가장 작은 것은 하나, 가장 큰 것은 두 개라는 점에 주목하세요.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
최솟값은 k−40이므로 k−40 = −8에서 k를 구합니다. 최댓값 식은 k 그 자체였으므로 구한 k가 곧 답입니다.
서술형이니 증감표, “x=0 또는 x=3에서 최댓값 k, x=−2에서 최솟값 k−40” 문장, k의 값, 최댓값 결론을 순서대로 적으세요.

다 풀고 나서

해설과 풀이영상

정답·해설 펼치기

정답 최댓값 32  (k = 32)

쎈 미적분1 0602번 해설 (1)
쎈 미적분1 0602번 해설 (2)

풀이영상

더 빠른 길 — 최댓값과 최솟값의 차는 k와 무관하다

g(x) = 2x³ − 6x² 로 두면 f = g + k. 구간 [−2, 3]에서 g의 최댓값은 0, 최솟값은 −40이므로 (최댓값) − (최솟값) = 40은 k가 얼마든 항상 고정입니다.
따라서 최솟값이 −8이면 최댓값은 −8 + 40 = 32. k를 구하지 않고도 답이 나옵니다. 다만 서술형 답안에는 이 논리의 근거(평행이동이 차를 바꾸지 않는다)를 한 줄 적어 주어야 합니다.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • 오른쪽 끝 f(3)을 빼먹는다
    x=2에서 다시 증가로 돌아서므로 f(3)은 극댓값 f(0)과 같은 값까지 올라옵니다. f(3)을 계산하지 않으면 “x=0에서만 최댓값”이라고 잘못 서술하게 되어 감점됩니다.
  • 최댓값 지점이 하나뿐이라고 단정한다
    이 문제는 f(0) = f(3) = k로 최댓값을 갖는 지점이 두 곳입니다. 값이 같으면 ‘또는’으로 둘 다 써 주는 것이 정확한 서술입니다.
  • 극댓값이 곧 최댓값이라고 본다
    극값은 국소적인 성질일 뿐입니다. 닫힌구간에서는 끝점 값과 비교한 결과로만 최댓값이 결정됩니다. 이 문제에서 끝점 f(3)이 극댓값과 같았던 것은 계산의 결과이지 당연한 일이 아닙니다.
  • 최솟값 조건을 f(0) 또는 f(2)에 적용한다
    k−40, k, k−8, k 중 가장 작은 것은 k−40, 즉 왼쪽 끝점입니다. 극솟값 f(2)=k−8을 최솟값으로 잡으면 k=0이 되어 답이 통째로 달라집니다.
  • 증감표 없이 답만 적는다
    서술형 배점은 대체로 ① 최대·최소 지점 판정 ② 최솟값 조건으로 k 결정 ③ 최댓값 결론의 세 단계로 나뉩니다. 세 줄이 답안에 모두 보이도록 쓰세요.

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