쎈미적분1 0574

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쎈수학 미적분Ⅰ · 05단원 · 유형 10 도함수의 그래프의 해석 (1)

0574
난이도 중
꺾인 f′의 그래프 · 상수 구간
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쎈 미적분1 0574번 문제

문제를 읽자마자

출제의도

f′의 그래프가 뾰족하거나 평평해도 f에게 필요한 건 부호뿐

이번 f′의 그래프는 직선을 이어 붙인 모양입니다. x=0에서 x축에 닿았다 올라가고, 2에서 6까지는 값이 k로 일정하고, x=8에서 뾰족하게 꺾입니다. 이 세 지점이 각각 다른 함정입니다. 닿기만 한 점은 극값이 아니고, 값이 일정한 구간에서 f는 상수함수가 아니라 일차함수이며, f′이 꺾이는 것은 f의 미분가능성과 무관합니다. 선지 다섯 개가 이 세 함정으로 만들어졌습니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 부호표부터 만들고 선지로 간다
f′(x)=0인 x는 0, 7, 9입니다. 각 점에서 부호가 바뀌는지 확인하면 + 0 + 0 − 0 + 가 나옵니다.
이 한 줄만 있으면 ①, ②, ⑤를 바로 판정할 수 있습니다. 극값은 몇 개인가요?
힌트 2 — f′이 상수인 구간에서 f는?
2<x<6에서 f′(x)=k (k>0)로 일정합니다. 기울기가 어디서나 k인 함수는 어떤 모양인가요?
f가 상수함수가 되려면 f′이 0이어야 합니다. k>0이면 상수함수일 수 없습니다.
힌트 3 — 꺾인 점을 누구의 문제로 볼까
x=0과 x=8에서 뾰족한 것은 f′의 그래프입니다. f가 x=0에서 미분가능한지는 f′(0)의 값이 존재하는지만 보면 됩니다. 그림에서 f′(0)=0으로 읽히죠.
같은 이유로 x=8은 f′의 최솟점일 뿐, f′(8)≠0이므로 f의 극값 자리가 아닙니다.

다 풀고 나서

해설과 풀이영상

정답·해설 펼치기

정답 ⑤  0<x<7에서 f는 증가

쎈 미적분1 0574번 해설

풀이영상

더 빠른 길 — 선지를 세 종류로 묶는다

①②는 극값 개수·위치(부호 변화만 확인), ③은 f′=k 구간의 정체, ④는 미분가능성 문제입니다.
부호표 한 줄로 ①②⑤를 정리하고, ③은 “f′=k>0 → 일차함수”, ④는 “f′(0)=0이 존재 → 미분가능”으로 각각 한 줄에 끝냅니다. 남는 것은 ⑤뿐입니다.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • x=0을 극값 자리로 센다
    f′(0)=0이지만 앞뒤가 모두 양수입니다. −1<x<8에서 극값은 x=7 하나뿐이므로 ①은 틀립니다.
  • f′의 최솟점 x=8을 f의 극소로 착각한다
    x=8에서 f′의 값은 음수이고 0이 아닙니다. f′이 가장 작아지는 점은 f가 가장 빠르게 감소하는 지점일 뿐, 극값과 무관합니다.
  • f′이 일정한 구간에서 f를 상수함수라고 쓴다
    f′=k(≠0)면 f는 기울기 k의 일차함수입니다. f가 상수함수인 구간은 f′=0인 구간, 즉 그래프가 x축에 겹쳐 있는 구간뿐입니다.
  • f′의 그래프가 꺾이면 f가 미분불가능하다고 판단한다
    꺾임은 f′의 미분가능성 문제입니다. f의 미분가능성은 f′의 값이 존재하는지로 결정되며, f′(0)=0이 읽히므로 f는 x=0에서 미분가능합니다.
  • 0<x<7의 양 끝점을 포함해 판정한다
    열린구간이므로 내부에서 f′>0인지만 보면 됩니다. 끝점 x=0, x=7에서 f′=0인 것은 증가 여부에 영향을 주지 않습니다.


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