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쎈수학 미적분Ⅰ · 05 도함수의 활용
0550
난이도 상
함수방정식과 도함수의 정의
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함수방정식과 도함수의 정의
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문제를 읽자마자
출제의도
f(x)를 구하지 말고, 도함수의 정의식에 관계식을 대입하라
f(x+y)=f(x)+f(y)−xy(x+y) 같은 관계식이 나오면 학생 대부분은 f(x)의 식을 알아내려 합니다. 하지만 출제자가 준 조건은 f′(0)=4 하나뿐이고, 이는 f′(x)를 만들라는 신호입니다. f′(x)의 정의식에 f(x+h)를 관계식으로 바꿔 넣으면 f(x)가 소거되고 f(h)/h만 남습니다. 그 극한이 곧 f′(0)입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 가장 먼저 할 일
관계식이 주어진 문제의 첫 수순은 언제나 같습니다. x=0, y=0을 대입하세요.
f(0)=f(0)+f(0)−0 에서 f(0)의 값이 하나로 정해집니다. 이 값은 뒤에서 f′(0)을 극한으로 바꿔 쓸 때 반드시 필요합니다.
f(0)=f(0)+f(0)−0 에서 f(0)의 값이 하나로 정해집니다. 이 값은 뒤에서 f′(0)을 극한으로 바꿔 쓸 때 반드시 필요합니다.
힌트 2 — 정의식에 밀어 넣기
f′(x) = limh→0 {f(x+h)−f(x)} / h 를 써 놓고, 분자의 f(x+h)를 관계식으로 f(x)+f(h)−xh(x+h)로 바꾸세요.
f(x)끼리 소거되면 {f(h)/h} − x(x+h) 만 남습니다. f(0)=0이므로 limh→0 f(h)/h = f′(0) = 4 입니다.
f(x)끼리 소거되면 {f(h)/h} − x(x+h) 만 남습니다. f(0)=0이므로 limh→0 f(h)/h = f′(0) = 4 입니다.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
f′(x)=4−x²=−(x+2)(x−2) 를 얻었나요? 이차항의 계수가 음수이므로 f′의 부호는 왼쪽부터 −, +, − 순서입니다.
부호가 −에서 +로 바뀌는 곳이 극소, +에서 −로 바뀌는 곳이 극대입니다. 어느 쪽이 α이고 어느 쪽이 β인지 확정한 뒤 α²+β²을 계산하세요.
부호가 −에서 +로 바뀌는 곳이 극소, +에서 −로 바뀌는 곳이 극대입니다. 어느 쪽이 α이고 어느 쪽이 β인지 확정한 뒤 α²+β²을 계산하세요.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 8 (α=−2, β=2)
풀이영상
검산 — f(x)를 복원해 보기
f′(x)=4−x²을 적분하면 f(x)=4x−x³/3+C이고, f(0)=0이므로 C=0. 즉 f(x)=4x−x³/3입니다.
이 식을 f(x+y)=f(x)+f(y)−xy(x+y)에 넣으면 좌변·우변이 실제로 일치합니다. 시험장에서는 여기까지 갈 필요가 없지만, 답이 불안할 때 30초짜리 검산으로 쓸 수 있습니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
f(x)의 식부터 찾으려고 시간을 쓴다
관계식과 f′(0) 하나로 다항식의 계수를 역추적하는 것은 훨씬 먼 길입니다. 관계식이 보이면 “대입 → 도함수 정의”가 기본 반응이어야 합니다. -
f(0)=0을 확인하지 않고 lim f(h)/h = f′(0)이라 쓴다
f′(0)=lim{f(h)−f(0)}/h 이므로 f(0)=0일 때만 f(h)/h로 줄어듭니다. 서술형이라면 f(0)=0을 먼저 보인 줄이 없을 때 감점 대상입니다. -
−xy(x+y) 항의 부호를 흘린다
y 자리에 h를 넣으면 −xh(x+h)이고, h로 나누면 −x(x+h)입니다. 부호를 놓쳐 f′(x)=4+x²이 되면 극값이 아예 존재하지 않아 문제가 풀리지 않습니다. -
극대와 극소를 뒤바꾼다
f′(x)=4−x²은 위로 볼록한 포물선이라 바깥쪽이 음수, 안쪽이 양수입니다. 따라서 왼쪽 x=−2가 극소, 오른쪽 x=2가 극대입니다. f′을 아래로 볼록으로 착각하면 α와 β가 통째로 바뀝니다. -
극한을 계산할 때 x를 상수로 보지 않는다
h→0인 극한이므로 x는 고정된 값입니다. −x(x+h) → −x²로 정리되는데, x까지 함께 0으로 보내면 f′(x)가 상수 4가 되어 버립니다. -
α²+β²이 아니라 α+β나 αβ를 계산한다
−2와 2를 구해 놓고 더하면 0, 곱하면 −4가 나옵니다. 문제가 요구한 것은 제곱의 합 8입니다. 값을 구한 뒤 문제 문장을 한 번 더 읽으세요.
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