쎈수학 미적분Ⅰ · 04 접선의 방정식
0453
난이도 하
기울기가 주어진 접선
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문제를 읽자마자
출제의도
접점을 모른 채 기울기만 주어졌을 때, 접점을 t로 놓고 되찾아오라는 문제
“기울기가 2인 접선”이라는 말은 접점 좌표를 안 알려주겠다는 뜻입니다. 접선 문제의 출발점은 언제나 접점이므로, 접점을 (t, t²−4t+5)로 두고 f′(t)=2를 푸는 것이 전부입니다. 뒤의 넓이 계산은 직각삼각형 하나짜리 덤입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 방향부터 잡기
접점이 어디인지 문제가 말해주지 않았습니다. 그러면 접점을 미지수로 놓는 것이 첫 줄입니다.
f(x)=x²−4x+5일 때 접점을 (t, t²−4t+5)라 하면, “기울기가 2″라는 조건은 어떤 식으로 번역되나요?
f(x)=x²−4x+5일 때 접점을 (t, t²−4t+5)라 하면, “기울기가 2″라는 조건은 어떤 식으로 번역되나요?
힌트 2 — 접점 찾기
f′(x)=2x−4이므로 f′(t)=2t−4=2, 즉 t=3입니다.
t=3을 곡선에 넣으면 9−12+5=2이므로 접점은 (3, 2). 이제 점 (3,2)를 지나고 기울기가 2인 직선을 쓰세요.
t=3을 곡선에 넣으면 9−12+5=2이므로 접점은 (3, 2). 이제 점 (3,2)를 지나고 기울기가 2인 직선을 쓰세요.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
접선은 y=2x−4입니다. x절편과 y절편을 각각 구하면 2와 −4.
x축·y축과 만드는 도형은 직각삼각형이고, 넓이는 두 절편의 길이를 곱해 반으로 나눕니다. −4는 그대로 쓰는 게 아니라 길이 4로 씁니다.
x축·y축과 만드는 도형은 직각삼각형이고, 넓이는 두 절편의 길이를 곱해 반으로 나눕니다. −4는 그대로 쓰는 게 아니라 길이 4로 씁니다.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 ② 넓이 = 4
더 빠른 길 — 판별식으로 접선 잡기
기울기가 2이므로 접선을 y=2x+k로 놓고 곡선과 연립하면 x²−4x+5=2x+k, 즉 x²−6x+5−k=0.
접한다 = 중근이므로 D/4 = 9−(5−k) = 0에서 k=−4. 곧바로 y=2x−4가 나옵니다. 접점을 몰라도 되는 대신, 접점을 물어보는 문제에는 못 씁니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
f(t)=2로 놓는다
주어진 2는 y좌표가 아니라 기울기입니다. 기울기 조건은 반드시 f′(t)에 붙습니다. f와 f′을 헷갈리는 순간 문제가 통째로 달라집니다. -
y절편 −4를 그대로 넓이에 넣는다
넓이는 길이끼리 곱합니다. ½·2·(−4)=−4 같은 음수 넓이가 나왔다면 절댓값을 빠뜨린 것입니다. ½·2·4=4가 맞습니다. -
접점의 y좌표를 다시 계산하지 않는다
t=3을 구하고 접점을 (3, 3)처럼 적는 실수가 잦습니다. t=3을 곡선 식에 넣어 9−12+5=2를 반드시 계산하세요. -
둘러싸인 도형이 삼각형인지 확인하지 않는다
직선 하나와 두 축이 만드는 도형은 직각삼각형입니다. 두 절편이 곧 밑변과 높이라는 그림을 손으로 한 번 그려두면 계산이 흔들리지 않습니다. -
x절편을 y=0 대신 x=0으로 구한다
x절편은 y=0을 대입, y절편은 x=0을 대입입니다. 급하면 반대로 넣는 경우가 많아 절편이 뒤바뀝니다.
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