쎈수학 미적분Ⅰ · 04단원 접선의 방정식
0442
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두 접선의 수직조건
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출제의도
접선 두 개를 각각 구한 뒤, 기울기의 곱을 −1로 놓는 문제
점 (0, k)는 y축 위의 점이고 곡선 밖에 있습니다. 접점을 t로 놓고 접선을 세우면 y절편이 t²이라는 깔끔한 관계가 나오고, 여기서 t=±√k가 곧바로 결정됩니다. 두 접선의 기울기를 √k로 표현한 다음 (기울기)×(기울기)=−1을 세우는 것이 전부입니다. k>0 조건은 √k를 쓸 수 있게 해 주려고 붙은 장치입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 접선부터 세우기
접점을 (t, −t²+9t)로 놓으세요. f′(x)=−2x+9이므로 접선의 기울기는 −2t+9입니다.
접선의 방정식을 세워 y=(기울기)x+(상수) 꼴로 정리해 보세요. 상수항이 아주 단순해집니다.
접선의 방정식을 세워 y=(기울기)x+(상수) 꼴로 정리해 보세요. 상수항이 아주 단순해집니다.
힌트 2 — y절편이 곧 k
정리하면 y=(−2t+9)x+t²입니다. 이 직선이 (0, k)를 지나므로 k=t².
k>0이므로 t=√k 또는 t=−√k. 두 접선의 기울기를 각각 √k로 써 보세요.
k>0이므로 t=√k 또는 t=−√k. 두 접선의 기울기를 각각 √k로 써 보세요.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
기울기는 2√k+9와 −2√k+9입니다. 수직이므로 두 기울기의 곱이 −1.
(2√k+9)(−2√k+9)는 (9+2√k)(9−2√k)=81−4k 꼴로 묶입니다. 이제 k에 대한 일차방정식입니다.
(2√k+9)(−2√k+9)는 (9+2√k)(9−2√k)=81−4k 꼴로 묶입니다. 이제 k에 대한 일차방정식입니다.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 ② k = 41/2
더 빠른 길 — 판별식 + 근과 계수의 관계
(0, k)를 지나는 직선을 y=mx+k로 두고 −x²+9x=mx+k에 넣으면 x²+(m−9)x+k=0. 접하므로 판별식이 0, 즉 (m−9)²−4k=0 → m²−18m+81−4k=0.
이 이차방정식의 두 근이 곧 두 접선의 기울기입니다. 수직이면 두 근의 곱이 −1이므로 근과 계수의 관계로 81−4k=−1. 접점을 잡지 않고 한 줄에 끝납니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
(0, k)를 곡선 위의 점으로 착각한다
곡선 y=−x²+9x는 원점을 지나므로 x=0일 때 y=0입니다. k>0인 (0, k)는 곡선 밖의 점이고, 그래서 접선이 두 개 생깁니다. 여기를 놓치면 접선을 하나만 구하고 멈춥니다. -
접선의 상수항을 t²이 아니라 −t²으로 쓴다
y−(−t²+9t)=(−2t+9)(x−t)를 전개하면 2t²−9t가 나오고, 여기에 −t²+9t를 더해 +t²입니다. 부호 하나로 k=−t²이 되어 k>0 조건과 충돌합니다. -
k=t²에서 t=√k만 취한다
접점이 두 개여야 접선도 두 개입니다. t=√k와 t=−√k를 모두 잡아야 기울기 두 개가 나오고, 그래야 수직조건을 세울 수 있습니다. -
√k와 k를 섞어 쓴다
기울기 −2t+9에 t=−√k를 넣으면 2√k+9입니다. 여기서 √k를 k로 적으면 (2k+9)(−2k+9)=−1이라는 이차방정식이 되어 답이 통째로 달라집니다. -
수직조건을 합이 0으로 놓는다
두 직선이 수직이면 기울기의 곱이 −1입니다. 합이 0은 x축 대칭일 때의 관계입니다. 곱 −1을 쓰면 81−4k=−1 → k=41/2로 정확히 떨어집니다. -
(2√k+9)(−2√k+9)를 전개하다 부호를 흘린다
(9+2√k)(9−2√k)로 순서를 바꿔 합차공식으로 처리하세요. 81−4k. 전개로 밀어붙이면 −4k+81을 4k+81로 적는 실수가 자주 나옵니다.
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