쎈미적분1 0411

작성자:

쎈수학 미적분Ⅰ · 04단원 접선의 방정식

0411
난이도 중
서술형
항상 지나는 점 · 접선의 수직
풀이영상 있음

먼저 보고 싶다면

풀이영상

곡선 y = x³ − ax² + 2ax + 2는 실수 a의 값에 관계없이 항상 두 점을 지난다. 이 두 점에서의 접선이 서로 수직이 되도록 하는 모든 실수 a의 값의 곱을 구하시오.

문제를 읽자마자

출제의도

“a에 관계없이”는 미분 문제가 아니라 항등식 문제라는 신호

미분은 두 점을 찾은 다음에야 등장합니다. 순서는 ① 항등식으로 두 점 찾기 → ② 수직 조건으로 a의 이차방정식 세우기 → ③ 근과 계수의 관계로 곱만 읽기. 서술형이라 이 세 단계가 그대로 채점 기준(40 % · 40 % · 20 %)이 됩니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 무엇에 대한 항등식인가
“a의 값에 관계없이 항상 지난다”는 말은, 그 점의 좌표를 넣으면 모든 a에 대해 등식이 성립한다는 뜻입니다.
그러려면 식을 =0 꼴로 옮긴 뒤, a가 붙은 항끼리 묶어야 합니다. x³ − ax² + 2ax + 2 − y = 0을 a로 정리하면?
힌트 2 — 두 점 찾기
x³ − y + 2 − ax(x − 2) = 0. 이것이 a에 대한 항등식이므로 x³ − y + 2 = 0 이고 x(x − 2) = 0입니다.
x = 0 또는 x = 2를 위 식에 넣으면 y가 정해집니다. 두 점이 나왔나요?
힌트 3 — 마지막 한 걸음
y′ = 3x² − 2ax + 2a이므로 두 점에서의 기울기는 2a와 12 − 2a. 수직이므로 두 기울기의 곱은 −1입니다.
정리하면 a에 대한 이차방정식이 나옵니다. 문제가 물은 것은 모든 a의 곱이니, 근을 직접 구하지 말고 근과 계수의 관계를 쓰세요.

다 풀고 나서

해설과 풀이영상

정답·해설 펼치기

정답 −1/4  (두 점은 (0, 2), (2, 10))

쎈 미적분1 0411번 해설 1
쎈 미적분1 0411번 해설 2

두 점을 빨리 찾는 길 — 값 대입 후 검증

a = 0일 때 y = x³ + 2, a = 1일 때 y = x³ − x² + 2x + 2. 두 곡선의 교점을 구하면 x² − 2x = 0에서 x = 0, 2, 즉 (0, 2)와 (2, 10)이 후보로 바로 나옵니다.
다만 이건 후보를 찾는 방법일 뿐이므로, 두 점을 원식에 넣어 a가 모두 소거되는지 확인하는 한 줄을 반드시 덧붙이세요. 서술형에서는 항등식 정리가 정식 근거입니다.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • a에 숫자를 대입해 점만 찾고 끝낸다
    대입은 후보 탐색입니다. “a에 대한 항등식이므로 각 계수가 0″이라는 정리 과정이 배점 40 %짜리 근거입니다.
  • 수직 조건을 기울기의 곱 = 1로 쓴다
    수직이면 곱이 −1입니다. 2a(12 − 2a) = −1에서 4a² − 24a − 1 = 0.
  • y′을 구할 때 2ax의 미분을 흘린다
    a는 상수이므로 (2ax)′ = 2a가 그대로 남습니다. y′ = 3x² − 2ax + 2a.
  • 근을 직접 구해서 곱하려 한다
    4a² − 24a − 1 = 0의 근은 무리수입니다. 곱은 (상수항)/(이차항 계수) = −1/4로 바로 읽으세요.
  • 근의 합과 곱을 바꿔 쓴다
    합은 6, 곱은 −1/4입니다. 문제가 물은 것은 곱입니다.
  • 실근이 존재하는지 확인하지 않는다
    D/4 = (−12)² − 4·(−1) = 148 > 0. 서로 다른 두 실근이 있으므로 “모든 a”가 실제로 존재합니다.


쎈 미적분Ⅰ 전체 문항 해설 모아보기  ›

문제번호로 바로 찾아가는 메인포스트

댓글 남기기