쎈수학 미적분Ⅰ · 04 접선의 방정식
0399
대표 문제
유형 02 접선의 기울기의 최댓값 또는 최솟값
대표 문제
유형 02 접선의 기울기의 최댓값 또는 최솟값
문제를 읽자마자
출제의도
최댓값을 찾을 대상은 f가 아니라 f′이다
“접선의 기울기의 최댓값”에서 최댓값을 갖는 함수는 원래 함수가 아니라 기울기 함수 f′(x)입니다. 3차함수를 미분하면 이차함수이고, 이차함수의 최대·최소는 완전제곱 한 번이면 끝나죠. 이 문제의 진짜 함정은 그다음입니다. 접점 (a, b)에서 a와 k는 f′에서 나오지만 b는 f에서 나옵니다. 두 함수를 섞어 쓰지 않는 것이 채점의 갈림길입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 무엇의 최댓값인가
접점이 곡선 위를 움직이면 접선의 기울기도 따라 변합니다. 즉 기울기는 x에 대한 함수예요.
그 함수의 이름이 바로 f′(x)입니다. 먼저 f′(x)를 구해서 따로 적어 놓으세요. 최댓값 이야기는 그 식을 놓고 시작합니다.
그 함수의 이름이 바로 f′(x)입니다. 먼저 f′(x)를 구해서 따로 적어 놓으세요. 최댓값 이야기는 그 식을 놓고 시작합니다.
힌트 2 — 이차함수의 최대
f′(x)=−3x²+18x−12는 x² 계수가 음수인 이차함수이므로 최댓값이 존재합니다.
완전제곱으로 고쳐 보세요. −3(x−3)²+15 꼴이 되면 어디서 얼마인지가 한눈에 보입니다. 이때 x=3은 접점의 x좌표이고, 15는 기울기의 최댓값입니다.
완전제곱으로 고쳐 보세요. −3(x−3)²+15 꼴이 되면 어디서 얼마인지가 한눈에 보입니다. 이때 x=3은 접점의 x좌표이고, 15는 기울기의 최댓값입니다.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
a=3, k=15까지 왔다면 남은 것은 b뿐입니다. 접점 (a, b)는 곡선 y=f(x) 위의 점이므로 b=f(3)입니다. f′(3)이 아닙니다.
b=−27+81−36−14를 침착하게 계산한 뒤 a+b+k를 더하세요.
b=−27+81−36−14를 침착하게 계산한 뒤 a+b+k를 더하세요.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 ③ a+b+k = 22 (a=3, b=4, k=15)
더 빠른 길 — 접점은 언제나 변곡점
3차함수에서 접선의 기울기가 최대(또는 최소)가 되는 접점은 항상 변곡점입니다. f′이 이차함수이고 그 꼭짓점의 x좌표가 곧 f″(x)=0인 점이기 때문입니다.
f″(x)=−6x+18=0에서 x=3. 완전제곱을 하지 않아도 a=3이 바로 나오고, k=f′(3)=−27+54−12=15로 확인만 하면 됩니다.
이 성질을 알고 있으면 y=ax³+… 꼴의 어떤 문제에서도 “기울기 극값 → x=−(2차항 계수)/(3·3차항 계수)”로 접점을 즉시 찍을 수 있습니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
b를 f′(3)으로 계산한다
가장 많이 나오는 오답입니다. b=15로 두면 a+b+k=33. 접점은 곡선 위의 점이므로 반드시 원래 함수 f에 대입하세요. -
최댓값을 갖는 위치 x=3을 k로 착각한다
−3(x−3)²+15에서 x=3은 위치, 15가 최댓값입니다. 완전제곱을 한 뒤 “어디서(x)”와 “얼마(y)”를 나란히 적어 두면 헷갈리지 않습니다. -
원래 함수 f의 최댓값을 구하려 든다
3차함수는 실수 전체에서 최댓값이 없습니다. f의 극댓값을 구하고 있다면 방향이 틀렸다는 신호입니다. -
x² 계수의 부호를 확인하지 않는다
f′의 x² 계수가 음수라 최댓값이 존재합니다. 만약 양수였다면 최솟값 문제가 되죠. 문제가 최대를 물었는지 최소를 물었는지, 그리고 그것이 가능한 부호인지 함께 보세요. -
f(3)=−27+81−36−14 산술에서 어긋난다
(−1)·27=−27, 9·9=81, −12·3=−36. 부호가 섞인 네 항이라 암산하면 자주 틀립니다. 두 개씩 묶어 54−50=4로 정리하면 안전합니다.