쎈수학 미적분Ⅰ · 03 미분계수와 도함수
0351
난이도 상
평균변화율과 미분계수
보기 합답형
난이도 상
평균변화율과 미분계수
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문제를 읽자마자
출제의도
보기를 하나씩 확인하지 말고, m을 먼저 a, b의 식으로 정리하라는 문제
ㄱ~ㄹ을 각각 따로 계산하면 네 번 일합니다. 하지만 m=a+b−2, f′(x)=2x−2 이 두 줄만 미리 만들어 두면 네 개 보기가 전부 대입 한 번으로 끝납니다. 출제자가 노리는 것은 계산력이 아니라 “정리 먼저”라는 순서 감각입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 보기부터 보지 말 것
ㄱ에 a=−2, b=4를 바로 넣고 있다면 잠깐 멈추세요. 그 계산은 ㄴ, ㄷ, ㄹ에서 하나도 재활용되지 않습니다.
m=(f(b)−f(a))/(b−a)를 a, b만 남은 식으로 먼저 정리하세요.
m=(f(b)−f(a))/(b−a)를 a, b만 남은 식으로 먼저 정리하세요.
힌트 2 — 약분되는 구조 찾기
분자는 (b²−2b+1)−(a²−2a+1) = (b²−a²)−2(b−a) 입니다.
여기서 b²−a²=(b−a)(b+a)이므로 분자 전체가 (b−a)로 묶입니다. a<b라서 b−a≠0, 마음 놓고 약분하세요. 남는 것은 아주 단순한 1차식입니다.
여기서 b²−a²=(b−a)(b+a)이므로 분자 전체가 (b−a)로 묶입니다. a<b라서 b−a≠0, 마음 놓고 약분하세요. 남는 것은 아주 단순한 1차식입니다.
힌트 3 — 도함수는 한 줄
m=a+b−2를 얻었나요? 이제 f′(x)=2x−2만 있으면 됩니다. 정의(극한)로 다시 구하지 말고 바로 쓰세요.
ㄷ은 f′(a)+f′(b)=2(a+b)−4, ㄹ은 f′(c)=2c−2에 a+b=2c를 넣는 것이 전부입니다. ㄴ은 계산이 아니라 부등호 방향만 확인하면 됩니다.
ㄷ은 f′(a)+f′(b)=2(a+b)−4, ㄹ은 f′(c)=2c−2에 a+b=2c를 넣는 것이 전부입니다. ㄴ은 계산이 아니라 부등호 방향만 확인하면 됩니다.
다 풀고 나서
해설
정답·해설 펼치기
정답 ㄱ, ㄷ, ㄹ
더 빠른 길 — 이차함수의 평균변화율은 중점의 미분계수
이차함수 f(x)에 대해서는 (f(b)−f(a))/(b−a) = f′((a+b)/2)가 항상 성립합니다. 이 한 줄을 알고 있으면 ㄹ은 증명할 것도 없이 참이고, m=f′((a+b)/2)=2·(a+b)/2−2=a+b−2가 즉시 나옵니다. 평균값 정리의 c가 이차함수에서는 언제나 중점이라는 사실이며, 삼차 이상에서는 성립하지 않습니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
ㄴ의 부등호 방향을 반대로 읽는다
m=a+b−2이므로 a+b>2이면 m>0입니다. 보기는 m<0이라고 했으니 거짓. 이 문항에서 유일한 거짓 보기이며, 오답의 대부분이 여기서 나옵니다. -
보기를 하나씩 처음부터 계산한다
m과 f′(x)를 먼저 정리하지 않으면 네 번 계산하게 됩니다. 조건이 공통이면 공통 식을 먼저 만드는 것이 원칙입니다. -
미분계수를 정의(극한)로 매번 구한다
f′(x)=2x−2를 한 번 구해 놓고 a, b, c를 대입하면 됩니다. lim 꼴을 세 번 쓰면 시간도, 부호도 무너집니다. -
평균변화율과 미분계수를 같은 것으로 본다
m은 구간 [a, b]의 기울기, f′(a)는 한 점에서의 기울기입니다. 이차함수에서 우연히 중점에서 일치할 뿐, ㄷ은 f′(a)+f′(b)를 물었지 m을 물은 것이 아닙니다. -
ㄹ에서 c가 무엇인지 놓친다
a+b=2c는 c가 a와 b의 중점이라는 뜻입니다. 이 해석을 하면 ㄹ은 계산 전에 이미 보입니다. -
a<b 조건을 근거로 쓰지 않는다
b−a로 약분하려면 b−a≠0이어야 합니다. 서술형으로 바뀌면 이 한 줄이 감점 포인트가 됩니다.
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