쎈수학 미적분Ⅰ · 03 미분계수와 도함수
0350
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다항식의 나눗셈에서 미분법의 활용
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문제를 읽자마자
출제의도
f(x)가 무엇인지 모르는데 나머지는 정해진다
이 문제는 f(x)의 식을 하나도 주지 않습니다. 대신 점 (2, 4)를 지난다는 말로 f(2)=4를, 접선의 기울기가 3이라는 말로 f′(2)=3을 줍니다. (x−2)²로 나눈 나머지는 이 두 값만으로 완전히 결정된다는 것이 출제자가 확인하려는 사실입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — f(x)를 구하려 하지 말 것
f(x)의 차수도 계수도 주어지지 않았습니다. 구할 수 없고, 구할 필요도 없습니다.
몫을 Q(x), 나머지를 R(x)=ax+b라 두고 f(x)=(x−2)²Q(x)+ax+b라는 항등식만 세우세요. 앞의 두 문제와 완전히 같은 출발점입니다.
몫을 Q(x), 나머지를 R(x)=ax+b라 두고 f(x)=(x−2)²Q(x)+ax+b라는 항등식만 세우세요. 앞의 두 문제와 완전히 같은 출발점입니다.
힌트 2 — 조건 두 개를 식으로 번역하기
“그래프 위의 점 (2, 4)”는 f(2)=4라는 뜻이고, “점 (2, 4)에서의 접선의 기울기가 3″은 f′(2)=3이라는 뜻입니다.
말을 식으로 바꾸는 이 두 줄이 문제의 절반입니다. 조건 개수가 미지수 개수와 같다는 점도 확인하세요.
말을 식으로 바꾸는 이 두 줄이 문제의 절반입니다. 조건 개수가 미지수 개수와 같다는 점도 확인하세요.
힌트 3 — 대입 한 번, 미분 후 대입 한 번
항등식에 x=2를 넣으면 (x−2)²Q(x)가 사라져 2a+b=4.
양변을 미분하면 f′(x)=2(x−2)Q(x)+(x−2)²Q′(x)+a이고, x=2를 넣으면 a=f′(2)=3. 두 식을 연립해 b를 구한 뒤, 묻는 값이 R(x)가 아니라 R(3)임을 다시 확인하세요.
양변을 미분하면 f′(x)=2(x−2)Q(x)+(x−2)²Q′(x)+a이고, x=2를 넣으면 a=f′(2)=3. 두 식을 연립해 b를 구한 뒤, 묻는 값이 R(x)가 아니라 R(3)임을 다시 확인하세요.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 7 R(x) = 3x − 2
풀이영상
기억해 둘 사실 — 나머지가 곧 접선
같은 계산을 일반화하면 f(x)를 (x−k)²으로 나눈 나머지는 언제나 R(x)=f′(k)(x−k)+f(k)입니다. 이것은 점 (k, f(k))에서의 접선의 방정식과 똑같은 식입니다.
이 문제에 넣으면 R(x)=3(x−2)+4=3x−2이므로 R(3)=7이 곧바로 나옵니다. 접선이 그래프를 그 점 근처에서 가장 잘 흉내 내는 일차식이라는 사실과 같은 이야기입니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
f(x)를 먼저 구하려고 시간을 쓴다
차수조차 주어지지 않은 함수는 특정할 수 없습니다. “f(x)를 모르는데 나머지는 구할 수 있다”가 이 문제의 핵심입니다. -
접선의 기울기를 f(2)로 착각한다
기울기는 미분계수 f′(2)입니다. f(2)=4는 점을 지난다는 조건, f′(2)=3은 기울기 조건 — 두 줄을 따로 적고 시작하세요. -
2a+b=4에 a=3을 넣고 b를 잘못 낸다
6+b=4이므로 b=−2입니다. b=2로 적으면 R(3)이 11이 되어 답이 통째로 달라집니다. -
나머지를 상수로 놓는다
2차식으로 나눈 나머지는 1차 이하이므로 ax+b입니다. 상수로 놓으면 f′(2)=3을 쓸 자리가 사라집니다. -
R(x)=3x−2까지 구하고 멈춘다
문제가 요구한 것은 R(3)입니다. x=3을 넣어 7까지 적어야 끝입니다.
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