쎈수학 미적분Ⅰ · 03 미분계수와 도함수 · 유형 12 미분법의 공식
0313
난이도 하
미분법의 공식
풀이영상 있음
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함수 f(x) = (1/4)x4 − (1/3)x3 + (a/2)x2 + 2x에 대하여 f′(2) = 4일 때, 상수 a의 값을 구하시오.
주관식
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문제를 읽자마자
출제의도
분수 계수는 미분하면 사라지도록 일부러 배치해 둔 장치
1/4, 1/3, a/2 라는 계수는 각각 4, 3, 2와 짝을 이룹니다. 미분해서 지수가 앞으로 내려오면 정확히 약분되어 도함수가 x³ − x² + ax + 2 라는 깔끔한 식이 됩니다. 계수에 겁먹지 말고 공식대로 밀면 되는지, 그리고 미지수가 든 항을 끝까지 살려 대입할 수 있는지를 보는 문제입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — a를 언제 처리할까
a는 상수입니다. 상수 계수는 미분할 때 그대로 따라 나옵니다. a를 구하려고 먼저 헤맬 필요 없이, a를 문자 그대로 둔 채 미분부터 끝내세요.
순서는 언제나 미분 → 대입 → 방정식입니다.
순서는 언제나 미분 → 대입 → 방정식입니다.
힌트 2 — 계수 약분 확인
(1/4)x4을 미분하면 (1/4)·4x3 = x3, (1/3)x3은 x2, (a/2)x2은 ax, 2x는 2.
즉 f′(x) = x3 − x2 + ax + 2. 분수가 하나도 남지 않았다면 제대로 미분한 것입니다.
즉 f′(x) = x3 − x2 + ax + 2. 분수가 하나도 남지 않았다면 제대로 미분한 것입니다.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
x=2를 넣으면 8 − 4 + 2a + 2, 정리하면 2a + 6입니다.
이것이 4와 같다는 방정식을 풀면 끝입니다. 8−4+2 부분의 부호를 한 번 더 확인하세요.
이것이 4와 같다는 방정식을 풀면 끝입니다. 8−4+2 부분의 부호를 한 번 더 확인하세요.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 a = −1
풀이영상
검산하는 법 — a를 되돌려 넣기
a=−1이면 f′(x) = x3 − x2 − x + 2 이고, f′(2) = 8 − 4 − 2 + 2 = 4. 조건과 일치합니다.
미지수를 구한 뒤 원래 조건식에 다시 대입해 확인하는 습관은 이런 유형에서 계산 실수를 잡아내는 가장 값싼 방법입니다. 10초면 됩니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
(a/2)x2을 미분해서 (a/2)x로 쓴다
지수 2가 앞으로 내려와 (a/2)·2x = ax가 됩니다. 분수 계수와 지수의 약분을 눈으로 확인하고 넘어가세요. 이 항이 틀리면 a의 값이 통째로 달라집니다. -
2x를 미분해서 0으로 만든다
상수항이 아니라 일차항입니다. 2x의 도함수는 2. 이 2가 사라지면 2a+4=4가 되어 a=0이라는 오답이 나옵니다. -
−(1/3)x3의 마이너스를 흘린다
도함수에서 −x2가 되고, x=2에서 −4로 기여합니다. 부호를 놓치면 8+4+2a+2가 되어 답이 −5로 어긋납니다. -
f(2)=4로 읽는다
조건은 f′(2)=4, 즉 x=2에서의 접선의 기울기입니다. 원함수에 대입해 버리면 완전히 다른 방정식이 됩니다. 프라임 기호를 문제에서 한 번 더 확인하세요. -
2a+6=4를 풀면서 부호를 뒤집는다
2a=−2이므로 a=−1입니다. 답이 1로 나왔다면 이동 과정에서 부호가 한 번 빠진 것입니다. 구한 a를 f′(2)에 되돌려 넣어 4가 나오는지 확인하세요.