쎈수학 미적분Ⅰ · 03 미분계수와 도함수
0301
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절댓값 함수의 미분가능성
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문제를 읽자마자
출제의도
절댓값 안이 0이 되는 자리가 꺾일 후보다
x=1을 대입했을 때 절댓값 안이 0이 되는 함수만 의심하면 됩니다. ㄱ은 절댓값이 아예 없으니 후보에서 빠지고, ㄴ·ㄷ만 좌우 미분계수를 각각 계산하면 끝입니다. 다만 “있는 대로 고르시오”라는 말이 붙어 있으므로, 하나 찾았다고 멈추면 안 되는 문제입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 조건이 두 개라는 것부터
문제가 요구하는 것은 x=1에서 연속이면서 x=1에서 미분불가인 것입니다. 두 조건을 모두 만족해야 답에 들어갑니다.
ㄱ의 f(x)=x−1은 일차함수입니다. 일차함수는 모든 점에서 미분가능하므로 두 번째 조건에 걸립니다. 이 판단은 5초면 끝납니다.
ㄱ의 f(x)=x−1은 일차함수입니다. 일차함수는 모든 점에서 미분가능하므로 두 번째 조건에 걸립니다. 이 판단은 5초면 끝납니다.
힌트 2 — ㄴ: 절댓값을 벗겨서 좌우로
g(x)=|x−1|. 미분계수 정의에 넣으면 {g(1+h)−g(1)}/h = |h|/h 입니다.
h→0+ 이면 |h|=h 이므로 값은 1, h→0− 이면 |h|=−h 이므로 값은 −1.
좌우가 다르면 g′(1)은 존재하지 않습니다. 연속인지는 g(1)=0과 극한이 0으로 같은지로 확인하세요.
h→0+ 이면 |h|=h 이므로 값은 1, h→0− 이면 |h|=−h 이므로 값은 −1.
좌우가 다르면 g′(1)은 존재하지 않습니다. 연속인지는 g(1)=0과 극한이 0으로 같은지로 확인하세요.
힌트 3 — ㄷ: 절댓값 안의 부호를 h로 판단
k(x)=|x²−1|. 정의에 넣으면 |(1+h)²−1|/h = |h²+2h|/h 가 됩니다.
h가 0에 아주 가까울 때 h²보다 2h가 크기를 지배하므로, h>0이면 h²+2h>0, h<0이면 h²+2h<0 입니다. 절댓값을 벗길 때 부호가 갈립니다.
정리하면 오른쪽은 h+2→2, 왼쪽은 −h−2→−2. 결과를 확인한 뒤 ㄴ과 함께 답을 적으세요.
h가 0에 아주 가까울 때 h²보다 2h가 크기를 지배하므로, h>0이면 h²+2h>0, h<0이면 h²+2h<0 입니다. 절댓값을 벗길 때 부호가 갈립니다.
정리하면 오른쪽은 h+2→2, 왼쪽은 −h−2→−2. 결과를 확인한 뒤 ㄴ과 함께 답을 적으세요.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 ㄴ, ㄷ
더 빠른 길 — 접어 올리기
y=|f(x)|의 그래프는 y=f(x)에서 x축 아래 부분을 위로 접어 올린 모양입니다. 접히는 자리, 즉 f(x)=0인 x가 꺾임 후보입니다.
ㄷ의 y=x²−1은 x=±1에서 x축을 가로질러 지나므로 두 곳 모두 뾰족하게 꺾입니다. 이때 꺾인 곳의 기울기는 원래 기울기 f′(1)=2와 그 부호를 뒤집은 −2입니다.
주의할 점 하나. x축에 닿기만 하고 지나가지 않으면(중근) 접어도 꺾이지 않습니다. 예를 들어 |(x−1)²|은 x=1에서 매끄럽습니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
ㄱ을 답에 포함시킨다
ㄱ은 x=1에서 연속이라는 조건은 만족하지만 미분도 됩니다. 조건이 두 개일 때는 둘 다 O인 것만 고르세요. 문제에 밑줄을 그어 두면 확실합니다. -
|h²+2h|에서 h<0일 때 부호를 그대로 둔다
h²이 있으니 항상 양수라고 착각하기 쉽습니다. h가 0에 가까우면 h²은 2h에 비해 무시할 만큼 작아서 부호는 2h가 결정합니다. h<0이면 음수이므로 −(h²+2h)로 벗겨야 합니다. -
좌우 미분계수가 둘 다 존재하면 미분가능이라고 쓴다
존재만으로는 부족하고 값이 같아야 합니다. 1과 −1처럼 다르면 f′(1)은 존재하지 않습니다. 서술형에서는 “두 값이 다르므로”라는 문장이 반드시 들어가야 점수가 나옵니다. -
ㄷ에서 x=−1만 확인하고 넘어간다
|x²−1|은 x=1과 x=−1 두 군데에서 꺾입니다. 문제가 묻는 지점은 x=1입니다. 절댓값 안이 0이 되는 값을 모두 구한 뒤, 문제가 지정한 점을 다시 확인하세요. -
“있는 대로 고르시오”인데 하나만 적는다
ㄴ을 찾자마자 답을 적고 넘어가면 ㄷ을 통째로 놓칩니다. 보기가 ㄱ·ㄴ·ㄷ 세 개라면 세 개 모두에 O/X를 표시하고 나서 답을 옮겨 적는 습관을 들이세요.
“쎈미적분1 0301”에 대한 1개의 생각